Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 15 стр.

                                                                  15
                        1     1
                  p 21 − ≤γ ≤            при 1 − p 21 >0 ,                                                       (45)
                        2     2
                  1            1
                    ≤γ ≤ p 21 −          при 1 − p 21 <0 .                                                       (46)
                  2            2
                 В двухстороннем методе Рунге-Кутта нас интересуют пары
                 расчетных формул, соответствующие значениям ±γ . Поэтому
                 условие (46) является недопустимым, а условие (45) для выбора
                 параметров p 21 , γ лучше записать в виде
                        1                 � 1          1   �
                  p 21 < ,       γ ≤min��      , p 21 −    �� .                                                  (47)
                        2                  � 2         2   �
                                                                                               1         1
Замечание 3. Если                параметр             p 21 =0 ,         то       p 22 =1, α 2 = −γ, β21 = −γ .
                                                                                               2         2
                 Соответствующие этим значениям пары расчетных формул
                 двухстороннего метода Рунге-Кутта запишутся в виде

                  y1+ = y 0 +hf �� x 1 +γh, y 1 +γhf (x0 , y 0 )��
                                   � 2         2                    �
                                                                                                                 (48)
                  y1− = y 0 +hf �� x 1 −γh, y 1 −γhf (x0 , y 0 )�� ,
                                  � 2          2                  �
                                     h                     h
                 где x 1 =x0 + , y 1 = y 0 + f (x0 , y0 ) .
                          2          2        2            2
                 Вычисленное по формуле (40) приближенное значение приводит к
                 следующей двучленной формуле

                  y10 = y 0 + �� f �� x 1 +γh, y 1 +γhf (x0 , y 0 )�� + f �� x 1 −γh, y 1 −γhf (x 0 , y 0 )�� �� . (49)
                             h
                             2� � 2               2                  �      � 2          2                   � �

                 Формулы типа (49) требуют 3-кратного вычисления правой части
                 исходного уравнения, имеют погрешность порядка O(h 3 ) , но при
                 этом одновременно определяются верхнее и нижнее приближения
                 к искомому решению.
     Примеры двучленных двухсторонних формул метода Рунге-Кутта:
             1
     1. γ = , p 21 =0.
             2
     y1+ = y 0 +hf (x0 , y 0 )
                                                                                                                 (50)
     y1− = y 0 +hf (x0 +h, y 0 +hf (x0 , y 0 ))