Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
2.
.0,
4
1
21
== p γ
()
()
+++=
+++=
−
+
000001
000001
,
4
3
,
4
3
,
4
,
4
yxhfyhxhfyy
yxf
h
y
h
xhfyy
(51)
3. .0,
6
1
21
== p γ
()
()
+++=
+++=
−
+
000001
000001
,
3
2
,
3
2
,
3
,
3
yxhfyhxhfyy
yxf
h
y
h
xhfyy
(52)
4.
.
4
1
,
4
1
21
== p γ
() ()
() ()()
00000001
00000001
,,
4
3
,
4
,
3
,
34
3
,
4
yxhfyhxhfyxf
h
yy
yxf
h
y
h
xhfyxf
h
yy
++++=
++++=
−
+
(53)
Напомним, что во всех двучленных двухсторонних методах Рунге - Кутта
погрешность шага имеет вид
{
}
)()(
32
2
0
0
hOfffhh
yy
xx
yx
+
′
+
′
=
=
=
γϕ . (54)
2.2. Трехчленные двухсторонние методы Рунге-Кутта
Методы этого типа образуют несколько трехпараметрических семейств [2 ]
и имеют погрешность на шаге порядка )(
3
hO . В приведенных ниже примерах 1-2
погрешность на шаге имеет вид
{
}
)()(
43
3
0
0
hOffffhh
yy
xx
yyx
+
′
+
′′
=
=
=
γϕ , (55)
в примерах 3-4 – вид
{}
)(2
2
)(
42
3
3
0
0
hOfffff
h
h
yy
xx
yyxyxx
+
′′
+
′′
+
′′
=
=
=
γϕ . (56)
1. 1
=
γ
. 
                                                                       16
              1
     2. γ = , p 21 =0.
              4

                         �   h    h              �
      y1+ = y 0 +hf � x0 + , y 0 + f (x0 , y 0 )�
                           � 4    4                �
                                                                            (51)
                     �       3      3                �
      y1− = y 0 +hf � x0 + h, y 0 + hf (x0 , y 0 )�
                       �     4      4                  �
              1
     3. γ = , p 21 =0.
              6

                         �   h    h              �
      y1+ = y 0 +hf � x0 + , y 0 + f (x0 , y 0 )�
                           � 3    3                �
                                                                            (52)
                     �       2      2                �
      y1− = y 0 +hf � x0 + h, y 0 + hf (x0 , y 0 )�
                       �     3      3                  �
              1            1
     4. γ = , p 21 = .
              4            4
                 h               3 �        h       h              �
      y1+ = y 0 + f (x0 , y 0 ) + hf � x 0 + , y 0 + f (x0 , y 0 )�
                 4               4 �        3       3                �      (53)
                 h               3
      y1− = y 0 + f (x0 , y 0 ) + hf (x0 +h, y 0 +hf (x0 , y 0 ))
                 4               4
     Напомним, что во всех двучленных двухсторонних методах Рунге-Кутта
погрешность шага имеет вид
     ϕ 2 (h) =γh 2 {f x′ + ff y′ }x =x0 +O(h 3 ) .                          (54)
                                   y =y0




        2.2. Трехчленные двухсторонние методы Рунге-Кутта
     Методы этого типа образуют несколько трехпараметрических семейств [2 ]
и имеют погрешность на шаге порядка O(h 3 ) . В приведенных ниже примерах 1-2
погрешность на шаге имеет вид
     ϕ3 (h) =γh 3 {f x′ f y′ + ff y′ }x =x0 +O(h 4 ) ,                      (55)
                                      y =y0


в примерах 3-4 – вид

     ϕ 3 (h) =γ
                  h3
                  2
                     {f xx′′ +2 ff xy′′ + f 2 f yy′′ }xy==xy00 +O(h 4 ) .   (56)

     1. γ =1 .

Страницы