Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 18 стр.

                                                                                18
                                    �     h       K �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x 0 + , y 0 + 1 � ,
                                      �   3       3 �

                �    h       K                            �            �     5        5     �
      K 3+ =hf � x0 + , y 0 + 2                                 −
                                                          � , K 3 =hf � x 0 + h, y 0 + K 2 � .
                  �  2       2                             �             �   6        6       �



           2.3. Организация счета в двухсторонних методах типа Рунге-Кутта
      Согласно полученным в предыдущих пунктах двухсторонним методам,
любой из них задается двумя формулами

               yi+ =yi+(xi −1 , hi −1 , yi −1 ),                                                                        (61)
               yi− =yi−(xi −1 , hi −1 , yi −1 ),


которые позволяют из начальной точки x0 перейти в следующую точку x1 и
получить два приближенных значения y1+, y1− . Далее вычисления приближенного
решения может проходить по различным схемам.
      Схема 1. Значения y1+, y1− (i =2,3,...) определяются независимо друг от друга
                    (
        y i+ = y i+ xi −1 , hi −1 , y i+−1 ,         )
         −
        y =y
         i
                  −
                  i (x   i −1   , hi −1 , y   −
                                              i −1   ),
т.е. по значению y1+ (y1−) вычисляется y 2+ (y 2−), по значению y 2+ (y 2−) вычисляется
  ( )
y 3+ y 3− и так далее до конца отрезка интегрирования.

      Схема 2. Пусть для определенности в точке x1 вычисленные значения y1+, y1−
связаны неравенством y1− ≤ y1+ . Исходя из y1− можно получить два значения y 2−, y 2−
приближенного решения в точке x2 , проведя вычисления по обеим формулам
двустороннего метода. Меньшее из y 2−, y 2− принимается за y 2− . Аналогично, исходя
из y1+ , вычисляются два значения y 2+, y 2+ и большее из них принимается за y 2+ . Если
получится, что y 2− > y 2+, то считается, что двусторонний метод при выбранном
значении шага неприменим, вычисления прекращаются. Если                                                        y 2− ≤ y 2+ , то

вычислительный процесс продолжается подобным образом.
      Схема 3. Пусть опять, как и в схеме 2, значения y1+, y1− связаны неравенством
y1− ≤ y1+ . Вычисление приближенных значений                                               y 2+, y 2− происходит аналогично