Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 19 стр.

                                                                   19
вычислениям по схеме 2. Отличие заключается в том, что в качестве y 2−
принимается большее из y 2−, y 2−, а в качестве y 2+ – меньшее из y 2+, y 2+.
         Схема 4. В этой схеме вычисление приближенного решения осуществляется
попеременно – то по одной, то по другой формуле. Например, если принять, что
y1 = y1+(x 0 , h0 , y 0 ) ,   то   y 2 = y 2−(x1 , h1 , y1 ), y 3 = y 3+(x 2 , h2 , y 2 ) , y 4 = y 4−(x3 , h3 , y 3 )    и   т.д.
Построенное приближенное решение будет характеризоваться тем, что на каждом
шаге главная часть локальной погрешности, как правило, изменяет знак на
противоположный.



         3. Повышение                  точности                    экстраполяционным                                     методом
              Ричардсона
         Пусть решение некоторого дифференциального уравнения ищется с
помощью численного метода первого порядка точности относительно шага сетки
h . Если использовать этот метод с параметром h , а затем h , то второе решение
                                                           2

будет в два раза точнее первого. Если получить решение с параметром h 3 , то оно

будет в три раза более точным и т.д. Если нам потребуется получить решение в
103 раз точнее, чем приближенное решение, соответствующее параметру h , то
необходимо в 103 раз уменьшить шаг сетки. Понятно, что в этом случае
возникают проблемы с ошибками округления и временем счета.
         Однако, если есть дополнительная информация о достаточной гладкости
решения, то можно сделать экстраполяцию решения по шагу сетки, которая дает
поразительные результаты. Допустим, что решение исходной дифференциальной
задачи позволяет предположить, что приближенное решение имеет три
ограниченных производных по параметру h . Тогда можно доказать, что линейная
комбинация трех приближенных решений, соответствующих h, h 2 , h 3 , будет

давать точность O(h 3 ) .
         Если безразмерный параметр h взять равным 1/10, то для получения
точности решения порядка 10-3 методом первого порядка число узлов сетки