Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
пропорционально 10
3
. Метод экстраполяции по Ричардсону обеспечит такую же
точность исходя их трех решений с числом узлов, пропорциональных
соответственно 10, 20, 30!
Использование приближенных решений на последовательности сеток –
основная идея метода экстраполяции Ричардсона , высказанная им в начале этого
века .
Метод Ричардсона в принципе позволяет получить уточненные решения
любого порядка точности , если обеспечены соответствующие условия гладкости .
3.1. Повышение точности в методе Эйлера
Рассмотрим начальную задачу Коши
=
∈=
,)0(
)1,0(),(
0
uu
tutf
dt
du
(63)
где
(
)
rrCutf
r
,2,),(]1,0[),( ≥+∞−∞×∈ – целое.
Предположим, что решение задачи (1) существует, единственно и
]1,0[
1 +
∈
r
Cu .
Замечание . При рассмотрении экстраполяции по Ричардсону предполагается,
что аргумент приведен к безразмерному виду (изменяется на
отрезке
[
]
1,0
). Этим объясняется использование обозначений,
отличных от обозначений предыдущих параграфов.
Приближенное решение задачи (63), полученное методом Эйлера (9) на
равномерной сетке
{
}
Mjjt
j
,...,1,0,
=
=
=
τ
ϖ
τ
с шагом
M
1
=τ обозначим
τ
u .
Для фиксированных целых чисел
r
NN
<
<
<
...0
1
построим сетки
k
τ
ϖ
с
шагами
MN
k
k
1
= τ , где
M
может неограниченно возрастать . На каждой из сеток
получим приближенное решение методом Эйлера. Заметим, что все решения
k
u
τ
определены на сетке
k
τ
ϖ
с шагом
M
1
=τ
.
Рассмотрим систему 
                                      20
пропорционально 103. Метод экстраполяции по Ричардсону обеспечит такую же
точность исходя их трех решений с числом узлов, пропорциональных
соответственно 10, 20, 30!
         Использование приближенных решений на последовательности сеток –
основная идея метода экстраполяции Ричардсона, высказанная им в начале этого
века.
         Метод Ричардсона в принципе позволяет получить уточненные решения
любого порядка точности, если обеспечены соответствующие условия гладкости.


            3.1. Повышение точности в методе Эйлера
         Рассмотрим начальную задачу Коши
         � du
          �         = f (t , u ) t ∈(0,1)
            � dt                                                                     (63)
             �� u (0) =u 0 ,

         где f (t , u ) ∈C r ([0,1] ×(−∞,+∞) ), r ≥2, r – целое.
         Предположим, что решение задачи (1) существует, единственно и
u ∈C r +1 [0,1] .

Замечание .            При рассмотрении экстраполяции по Ричардсону предполагается,
                       что аргумент приведен к безразмерному виду (изменяется на
                       отрезке         [0,1]).   Этим объясняется использование обозначений,
                       отличных от обозначений предыдущих параграфов.
         Приближенное решение задачи (63), полученное методом Эйлера (9) на

равномерной сетке ϖτ ={t j = jτ, j =0,1,..., M } с шагом τ =
                                                                     1
                                                                       обозначим u τ .
                                                                     M
         Для фиксированных целых чисел 0

Страницы