Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 22 стр.

                                                          22
                                                                               r +1
                     построим новую линейную комбинацию U H =∑ γk u τ                 k
                                                                                          типа (65),
                                                                               k =1


                     которая               будет являться уже решением     (r +1) -ого          порядка.
                     Очевидно, что в узлах сетки ϖτ абсолютная величина разности U H
                     и U H есть величина порядка O(τ r ) и ее значение дает главную
                     часть погрешности приближенного решения U H .


          3.2. Построение непрерывного приближенного решения
      Отметим одно из неудобств применения экстраполирования по Ричардсону.
Откорректированное решение отыскивается в точках, являющихся общими
узлами всех сеток, которых может оказаться мало. Кроме того, приближенное
решение может потребоваться в точках, вообще не являющихся узлами сеток. Для
таких точек возможно применение интерполяции сплайнами, многочленами и т.п.
Простейший выход – применение интерполяционных полиномов Лагранжа.
      Продолжим приближенное решение u τ , определенное на сетке ϖτ , на весь
                                                            k
                                                                                            k



отрезок [0,1] следующим образом. Возьмем произвольный элементарный отрезок
[t j , t j +1 ] сетки ϖτk . Решение u τk определено лишь на концах этого отрезка в узлах

t j , t j +1 . Выберем дополнительно к ним еще r −2 ближайших узлов сетки ϖτk и на

отрезке    [t j , t j +1 ]     определим          непрерывное   приближенное      решение             u τk (t ) ,

совпадающее с интерполяционным полиномом Лагранжа, построенным по r
выбранным узлам. В результате интерполяции по всем элементарным отрезкам
мы получим непрерывную функцию, совпадающую с u τ в узлах сетки ϖτ . Будем
                                                                      k
                                                                                                k



обозначать ее                u τk (t ) .   Используем построенные интерполянты            u τk (t )       для
вычисления приближенного непрерывного откорректированного решения U H (t ) в
форме
                      r
      U H (t ) =∑ γk u τk (t ),               t ∈[0,1],                                               (67)
                     k =1

где веса γk те же, что и в линейной комбинации (65).