Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 23 стр.

                                                                   23
     Погрешность непрерывного откорректированного решения U H (t ) , так же
как и погрешность сеточного решения U H , имеет порядок τ r :
      max U H (t ) −u (t ) =O (τ r ) .                                                               (68)
      [ 0 ,1]


Замечание о коэффициентах интерполяционных полиномов откорректированного
                  решения.
                  Каждый из построенных интерполянтов u τ (t ) есть непрерывная          k




                  функция, являющаяся на каждом из элементарных отрезков
                  соответствующей                     сетки        ϖτk       интерполяционным       полиномом
                  степени r −1 . Откорректированное решение U H - это также
                  непрерывная функция, являющаяся полиномом степени r −1 на
                  каждом из элементарных отрезков самой мелкой сетки ϖτ .                                    r



                  Нетрудно           видеть,                 что          коэффициенты        интерполяционных
                  полиномов               откорректированного                       решения    на   каждом   из
                  элементарных                     участков         сетки       ϖτr     являются    линейными
                  комбинациями                                соответствующих                    коэффициентов
                  интерполяционных полиномов для u τ с теми же коэффициентами,  k




                  что и линейная комбинация (67).
Замечание об интерполяционных многочленах Лагранжа.
                  Если f ( x) ∈C r [0,1] и известны значения f ( x j ) в r равноотстоящих

                  точках x j = x1 +( j −1)h отрезка [0,1] , то для интерполяционного
                  полинома Лагранжа
                               r            r      x −x j
                  Lr −1 ( x ) =∑ f ( xi )∏                                                           (69)
                              i =1          j ≠i   xi −x j
                                            j =1


                  справедливо соотношение
                                          1 (r )
                   f ( x) −Lr −1 ( x) =      f (ξ )ϖ r ( x) ,
                                          2!
                                                                   r
                  где x ∈[ x1 , xr ], ξ ∈[0,1], ϖ r ( x) =∏ ( x −x j ) .
                                                                   j =1


                  Для ϖ r (x) имеет место оценка