Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
шаге при условии, что предыдущие значения решения точны и нет ошибки
округления. Поясним сказанное. Пусть
)( xy
n
– решение задачи Коши
()
=
=
,)(
)(,
)(
nnn
n
n
yxy
xytf
dx
xdy
(72)
то есть )( xy
n
является решением исходного уравнения (1), определенным не
начальным условием (2) в точке
0
x , а значением вычисленного решения
n
y в
точке
n
x . Локальная погрешность
n
ε
есть разность между точным решением
)( hxy
nn
+
и вычисленным решением
1+n
y , определяемыми одними и теми же
данными в точке
n
x :
11
)(
++
−
=
nnnn
yxy
ε
. (73)
Подчеркнем, что в приведенном выражении (73)
1+n
y
–это вычисленное
каким-либо приближенным методом значение в точке
1+n
x в предположении об
отсутствии ошибок округления. Локальная погрешность методов типа Рунге -
Кутта именно в таком аспекте уже обсуждалась в п.1.1 (см. формулу (8)).
Глобальная погрешность – это разность между точным решением задачи
коши (1),(2) в точке
n
x , определяемым начальным значением в точке
0
x , и
вычисленным решением
n
y
(все ошибки округления игнорируются):
nnn
yxye
−
=
)( . (74)
Замечание 1. Пусть задача Коши (1),(2) решается методом Эйлера (9) и правая
часть уравнения (1) не зависит от
y
. Тогда точное решение )( xy
есть просто интеграл
∫
+=
x
x
dfyxy
0
)()(
0
ττ и метод Эйлера фактически
совпадает с численным методом интегрирования по формулам
левых прямоугольников:
∑
−
=
+=
1
0
0
)(
n
k
kkn
xfhyy
. (75)
Локальная погрешность
n
ε
на одном подинтервале равна 
                                    25
шаге при условии, что предыдущие значения решения точны и нет ошибки
округления. Поясним сказанное. Пусть y n (x) – решение задачи Коши
      � dy n ( x)
       �                 = f (t , y n ( x) )
         � dx                                                                      (72)
          �� y n ( x n ) = y n ,

     то есть y n (x) является решением исходного уравнения (1), определенным не
начальным условием (2) в точке x0 , а значением вычисленного решения y n в
точке xn . Локальная погрешность                       εn есть разность между точным решением
y n ( x n +h) и вычисленным решением y n+1 , определяемыми одними и теми же

данными в точке xn :
      εn = y n ( x n +1 ) −y n +1 .                                                (73)
     Подчеркнем, что в приведенном выражении (73) y n+1 –это вычисленное
каким-либо приближенным методом значение в точке xn +1 в предположении об
отсутствии ошибок округления. Локальная погрешность методов типа Рунге-
Кутта именно в таком аспекте уже обсуждалась в п.1.1 (см. формулу (8)).
     Глобальная погрешность – это разность между точным решением задачи
коши (1),(2) в точке xn , определяемым начальным значением в точке x0 , и
вычисленным решением y n (все ошибки округления игнорируются):
      e n = y ( x n ) −y n .                                                       (74)
Замечание 1. Пусть задача Коши (1),(2) решается методом Эйлера (9) и правая
                        часть уравнения (1) не зависит от y . Тогда точное решение y(x)
                                                              x
                        есть просто интеграл y ( x) = y 0 +∫f (τ)dτ и метод Эйлера фактически
                                                              x0


                        совпадает с численным методом интегрирования по формулам
                        левых прямоугольников:
                                          n −1
                         y n = y 0 +∑ hk f ( x k ) .                               (75)
                                          k =0


                        Локальная погрешность εn на одном подинтервале равна

Страницы