Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
для достижения конца отрезка интегрирования теперь потребуется
вдвое больше шагов, то глобальная ошибка уменьшится только в
2
s
=2 раза .
Влияние погрешности округления на приближенные значения решения
задачи Коши (1),(2) проиллюстрируем на примере метода Эйлера с постоянным
шагом. Пусть на каждом шаге метода Эйлера делается наихудшая возможная
ошибка округления
E
(
)
Eyxhfyy
kkkk
+
+
=
+
,
1
, (80)
тогда полная ошибка вследствие округлений равна NE . Суммируя глобальную
погрешность метода (408) и погрешности округления, получаем, что общая
погрешность
R
hxxEchNEhOR
n
)()(
0
−
+
≤
+
≅
, (81)
где константа
c
не зависит от значения шага h . Из последнего соотношения
следует, что существует оптимальное значение шага
опт
h
, которое минимизирует
общую погрешность
R
E
c
xx
h
n
опт
⋅
−
≅
0
. (82)
Замечание 4. Справедливости ради заметим, что в методе Эйлера общая
погрешность , накопившаяся от округлений, на самом деле ведет
себя как EN , поскольку погрешность округлений является скорее
случайной величиной, чем константой, как мы предположили в
предыдущих рассуждениях.
4.1. Оценка глобальной погрешности по правилу Рунге
Пусть задача Коши (1),(2) решается каким-либо явным методом типа Рунге -
Кутта порядка
s
на сетке с постоянным шагом h. Локальную погрешность метода
(8) запишем в виде
)(),()(
21
11
++
++
+=−
ss
nnnn
hOhyxyxy ψ , (83)
где
n
n
yy
xx
s
qnn
s
yx
=
=
+
+
= )0(
)!1(
1
),(
)1(
ϕψ . 
                                              27
                    для достижения конца отрезка интегрирования теперь потребуется
                    вдвое больше шагов, то глобальная ошибка уменьшится только в
                    2s=2 раза.
     Влияние погрешности округления на приближенные значения решения
задачи Коши (1),(2) проиллюстрируем на примере метода Эйлера с постоянным
шагом. Пусть на каждом шаге метода Эйлера делается наихудшая возможная
ошибка округления E
      y k +1 = y k +hf (x k , y k ) +E ,                                          (80)
тогда полная ошибка вследствие округлений равна NE . Суммируя глобальную
погрешность метода (408) и погрешности округления, получаем, что общая
погрешность R
      R ≅O(h) +NE ≤ch +E ( x n −x0 ) h ,                                          (81)
где константа c не зависит от значения шага h . Из последнего соотношения
следует, что существует оптимальное значение шага hопт , которое минимизирует
общую погрешность R
                  x n −x0
     hопт ≅               ⋅E .                                                    (82)
                      c

Замечание 4. Справедливости ради заметим, что в методе Эйлера общая
                    погрешность, накопившаяся от округлений, на самом деле ведет
                    себя как           N E , поскольку погрешность округлений является скорее

                    случайной величиной, чем константой, как мы предположили в
                    предыдущих рассуждениях.


         4.1. Оценка глобальной погрешности по правилу Рунге
     Пусть задача Коши (1),(2) решается каким-либо явным методом типа Рунге-
Кутта порядка s на сетке с постоянным шагом h . Локальную погрешность метода
(8) запишем в виде
      y ( x n +1 ) −y n+1 =ψ ( x n , y n )h s +1 +O (h s +2 ) ,                   (83)
                                 1
     где ψ ( x n , y n ) =            ϕ q( s +1) (0) x =xn .
                             ( s +1)!                y =y n

Страницы