Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Если погрешность начального условия и погрешности округлений считать
равными нулю , то для глобальной погрешности метода
n
ε
имеет место
асимптотическое представление [5]
)()(
1 +
+=
ss
nn
hOhxzε , (84)
где
∫
∫
∂
∂
=
n
o
n
x
x
x
n
ddy
y
f
yxz ξτττξξψ
ξ
))(,(exp))(,()( .
Пренебрегая членом )(
1 + s
hO в оценке (84), запишем формулу для глобальной
погрешности
n
ε
в виде
s
nn
hxz )(≅ε . (85)
Далее будем предполагать , что рассматриваются только такие задачи Коши,
для которых глобальная погрешность
n
ε
в виде (85) достаточно адекватно
отражает полную погрешность
n
R приближенного метода :
s
nn
hxzR )(≅ . (86)
На представлении полной погрешности в виде (86) основывается метод
Рунге оценки глобальной погрешности . Согласно методу Рунге , приближенное
решение задачи Коши в некоторой точке
n
x вычисляется дважды с разными
шагами (обычно с шагом h и
2
h
), но одним и тем же методом. Два полученных
приближенных решения позволяют апостериорно судить о погрешности решения.
Пусть в точке
n
x вычислено решение
n
y с шагом h; погрешность этого
решения на основании (86) равна
s
nnn
hxzyxy )()( ≅− . (87)
Решение , вычисленное по той же формуле с шагом
2
h
, обозначим в точке
n
x через
n
y . Погрешность решения
n
y опять оценим по соотношению (86):
s
nnn
h
xzyxy
≅−
2
)()(
. (88)
Исключив из (87-88) значение точного решения )(
n
xy , получим
−
−
≅
s
s
nn
n
h
yy
xz
2
1
1
)( . (89) 
                                      28
     Если погрешность начального условия и погрешности округлений считать
равными нулю, то для глобальной погрешности метода εn имеет место
асимптотическое представление [5]
     εn =z ( x n )h s +O(h s +1 ) ,                                        (84)
                        xn
                                             �   ∂f
                                                 xn
                                                                   �
     где z ( xn ) = ∫ψ (ξ , y (ξ )) exp�� ∫         (τ, y (τ))dτ �� dξ .
                        xo                   � ξ ∂y                  �

     Пренебрегая членом O(h s +1 ) в оценке (84), запишем формулу для глобальной
погрешности εn в виде
     εn ≅ z ( x n )h s .                                                   (85)
     Далее будем предполагать, что рассматриваются только такие задачи Коши,
для которых глобальная погрешность εn в виде (85) достаточно адекватно
отражает полную погрешность Rn приближенного метода:
     Rn ≅ z ( x n ) h s .                                                  (86)
     На представлении полной погрешности в виде (86) основывается метод
Рунге оценки глобальной погрешности. Согласно методу Рунге, приближенное
решение задачи Коши в некоторой точке xn вычисляется дважды с разными

шагами (обычно с шагом h и h 2 ), но одним и тем же методом. Два полученных

приближенных решения позволяют апостериорно судить о погрешности решения.
     Пусть в точке xn вычислено решение y n с шагом h ; погрешность этого
решения на основании (86) равна
      y ( x n ) −y n ≅ z ( x n ) h s .                                     (87)

     Решение, вычисленное по той же формуле с шагом h 2 , обозначим в точке

x n через y n . Погрешность решения y n опять оценим по соотношению (86):
                                         s
                                 � h�
      y ( x n ) −y n ≅ z ( x n )� � .                                      (88)
                                  � 2�

     Исключив из (87-88) значение точного решения y ( xn ) , получим
                    y n −y n
     z ( xn ) ≅                     .                                      (89)
                      �   1     �
                  hs � 1 − s    �
                        � 2     �

Страницы