Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
)()(
1
kk
x
x
k
xfhdf
k
k
−=
∫
+
ττε , (76)
глобальная погрешность равна
∑
∫
−
=
−=
1
0
)()(
0
n
k
kk
x
x
k
xfhdfe
n
ττ , (77)
Сравнивая соотношения (76),(77), видим, что в рассматриваемом
случае глобальная погрешность равна сумме локальных
погрешностей метода :
∑
−
=
=
1
0
n
k
nn
e ε
. (78)
В общем случае, когда правая часть уравнения (1) зависит от двух
переменных
x
и )( xy , локальная погрешность метода на любом подинтервале
зависит от значений решения, вычисленных на предыдущих интервалах.
Вследствие этого глобальная погрешность не будет равна сумме локальных
погрешностей.
2. Пусть на всем отрезке интегрирования задачи Коши (1),(2) от
начального
0
x до конечного
n
x шаг постоянен и равен h. Тогда общее число
шагов hxxN
n
)(
0
−
=
. Предположим, что вычисление приближенного решения
проводится некоторым явным методом типа Рунге - Кутта порядка
s
, что в
соответствии с определением (8) означает, что локальная погрешность метода
есть величина порядка )(
1 + s
hO . Глобальная погрешность
N
e
в конечной точке
интегрирования
n
x , грубо говоря, может быть представлена в виде суммы N
слагаемых , каждое из которых имеет порядок
)(
1 + s
hO
, поэтому глобальная
погрешность имеет порядок
)()(
1 ss
hOhON =⋅
+
:
)(
s
N
hOe = . (79)
Замечание 3. Посмотрим, что происходит с локальной и глобальной
погрешностью метода Эйлера )1(
=
s при уменьшении длины шага .
Пусть длина шага уменьшилась в 2 раза : 2
~
hh = , тогда локальная
погрешность
k
ε
~
уменьшается примерно в 2
s+1
=4 раза . Но так как 
                                                      26
                      xk +1

                εk = ∫f (τ)dτ −hk f ( x k ) ,                                   (76)
                       xk


                глобальная погрешность равна
                      xn          n −1
                ek = ∫f (τ)dτ −∑ hk f ( x k ) ,                                 (77)
                      x0          k =0


                Сравнивая соотношения (76),(77), видим, что в рассматриваемом
                случае        глобальная          погрешность   равна   сумме   локальных
                погрешностей метода:
                      n −1
                en =∑ εn .                                                      (78)
                      k =0


      В общем случае, когда правая часть уравнения (1) зависит от двух
переменных x и y(x) , локальная погрешность метода на любом подинтервале
зависит от значений решения, вычисленных на предыдущих интервалах.
Вследствие этого глобальная погрешность не будет равна сумме локальных
погрешностей.
      2.     Пусть на всем отрезке интегрирования задачи Коши (1),(2) от
начального x0 до конечного xn шаг постоянен и равен h . Тогда общее число
шагов N =( xn −x0 ) h . Предположим, что вычисление приближенного решения
проводится некоторым явным методом типа Рунге-Кутта порядка s , что в
соответствии с определением (8) означает, что локальная погрешность метода
есть величина порядка O(h s +1 ) . Глобальная погрешность e N в конечной точке
интегрирования xn , грубо говоря, может быть представлена в виде суммы N
слагаемых, каждое из которых имеет порядок O(h s +1 ) , поэтому глобальная
погрешность имеет порядок N ⋅ O(h s +1 ) =O(h s ) :
                e N =O (h s ) .                                                 (79)
Замечание 3. Посмотрим,             что     происходит      с   локальной   и   глобальной
                погрешностью метода Эйлера ( s =1) при уменьшении длины шага.
                                                                   ~
                Пусть длина шага уменьшилась в 2 раза: h =h 2 , тогда локальная
                погрешность ε~k уменьшается примерно в 2s+1=4 раза. Но так как

Страницы