Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Теперь оценки погрешности для приближенных значений
nn
yy ,
принимают
вид
()
−−≅−=
s
nnnnn
yyyxyR
2
1
1)( , (90)
(
)
(
)
12)( −−≅−=
s
nnnnn
yyyxyR . (91)
Заметим, что полученные приближенные значения
nn
yy , можно уточнить ,
положив
nnn
Ryxy +≅ )( (92)
или
nnn
Ryxy +≅ )( . (93)
При этом порядок точности увеличивается на единицу
)()(
1 +
=−
s
nn
hOyxy
, (94)
но вопрос о значении погрешности уточненного решения остается открытым .
Замечание 1. Приведенные выше рассуждения справедливы и в том случае,
когда сетки с разным числом узлов неравномерны, но их можно
описать функциями )( xh , отношение которых constrxhxh == )()( .
Обычно в качестве решения в точке
n
x принимают значение
n
y как
более точное по сравнению с
n
y .
Замечание 2. Если задана максимально допустимая погрешность
ε
и оказалось,
что ε>R , то необходимо повторить вычисления с более мелким
шагом. Величину нового шага
ε
h
можно определить , положив
ε
ε
=
s
n
hxz )(
,
откуда находим
s
n
xzh )(ε
ε
= . (95)
Подставляя (89) и (91) в последнее выражение , получаем
s
n
s
nn
s
R
h
yy
h
h
εε
ε
2
)12(
2
=
−
−
=
. (96) 
                                                     29
      Теперь оценки погрешности для приближенных значений y n , y n принимают
вид
                                        �   1 �
      Rn = y ( x n ) −y n ≅(y n −y n ) � 1 − s � ,                             (90)
                                          � 2 �

                                          (   )
      Rn = y ( x n ) −y n ≅(y n −y n ) 2 s −1 .                                (91)
      Заметим, что полученные приближенные значения y n , y n можно уточнить,
положив
      y ( x n ) ≅ y n +Rn                                                      (92)
или
      y ( x n ) ≅ y n +Rn .                                                    (93)
      При этом порядок точности увеличивается на единицу
      y ( x n ) −y n =O ( h s +1 ) ,                                           (94)
но вопрос о значении погрешности уточненного решения остается открытым.
Замечание 1. Приведенные выше рассуждения справедливы и в том случае,
                    когда сетки с разным числом узлов неравномерны, но их можно
                    описать функциями h(x) , отношение которых h ( x) h ( x) =r =const .
                   Обычно в качестве решения в точке xn принимают значение y n как
                    более точное по сравнению с y n .
Замечание 2. Если задана максимально допустимая погрешность ε и оказалось,
                    что R >ε , то необходимо повторить вычисления с более мелким

                    шагом. Величину нового шага hε можно определить, положив
                     z ( x n ) hεs =ε ,

                    откуда находим
                    hε =s ε z ( x n ) .                                        (95)

                    Подставляя (89) и (91) в последнее выражение, получаем
                            h (2 s −1)ε h ε
                    hε =     s         = s    .                                (96)
                            2 y n −y n  2 R
                                            n

Страницы