Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
(
)
()()
.,...,2,1,12)(
,,...,2,1,
2
1
1)(
MlyyyxyR
MlyyyxyR
sl
n
l
n
l
nn
ll
n
s
l
n
l
n
l
nn
ll
n
=−−≅−=
=
−−≅−=
4.2. Оценка локальной погрешности по правилу Рунге
Метод Рунге практической оценки локальной погрешности является
наиболее распространенным , хотя и не самым эффективным методом. Он
заключается в том, что по одной и той же выбранной вычислительной формуле
считаются два приближения к решению в одной точке , но с разными шагами .
Сравнение этих двух приближенных значений позволяет получить
апостериорную оценку погрешности .
Обозначим через
1
y решение , полученное по выбранной расчетной формуле
типа (4),(5) в точке hxx
+
=
01
. Главный член локальной погрешности обозначим
через
1
00
),(
+ s
hyxψ , подчеркнув тем самым , что решение получено из точки
0
x :
1
0010
),()(
+
=−+
s
hyxyhxy ψ . (98)
Обозначим через y
ˆ
решение , полученное по правилу (4,5) в точке
2
0
h
x + ,
главный член погрешности которого равен
1
000
2
),(
ˆ
2
+
=−
+
s
h
yxy
h
xy ψ . (99)
Из точки
2
0
h
x +
вычислим приближение
1
y к решению в точке
hx
+
0
с
погрешностью
1
010
2
ˆ
,
2
)(
ˆ
+
+=−+
s
h
y
h
xyhxy ψ
, (100)
где )(
ˆ
xy – точное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию
y
h
xy
ˆ
2
ˆ
=
+
. 
                                                                               31

                                                  (
                    Rnl = y l ( xn ) −y nl ≅ y nl −y nl                      ) �� 1 − 1 �� , l =1,2,..., M ,
                                                                                 �   2 �
                                                                                       s

                    Rnl = y l ( x n ) −y nl      ≅(y        l
                                                            n     −y nl      ) (2 −1), l =1,2,..., M .
                                                                                  s




          4.2. Оценка локальной погрешности по правилу Рунге
      Метод Рунге практической оценки локальной погрешности является
наиболее распространенным, хотя и не самым эффективным методом. Он
заключается в том, что по одной и той же выбранной вычислительной формуле
считаются два приближения к решению в одной точке, но с разными шагами.
Сравнение         этих         двух        приближенных                               значений         позволяет   получить
апостериорную оценку погрешности.
      Обозначим через y1 решение, полученное по выбранной расчетной формуле
типа (4),(5) в точке x1 =x0 +h . Главный член локальной погрешности обозначим
через ψ ( x0 , y 0 )h s +1 , подчеркнув тем самым, что решение получено из точки x0 :
       y ( x0 +h) −y1 =ψ ( x0 , y 0 ) h s +1 .                                                                       (98)
                                                                                                                            h
      Обозначим через ŷ решение, полученное по правилу (4,5) в точке x0 + ,
                                                                                                                            2
главный член погрешности которого равен
                                              s +1
         �     h�                     � h�
       y� x 0 + � −yˆ =ψ ( x0 , y 0 )� �             .                                                               (99)
           �   2�                      � 2�
                              h
      Из точки x0 +             вычислим приближение y1 к решению в точке x0 +h с
                              2
погрешностью
                                                                  s +1
                                 �
                               h �                       � h�
       yˆ( x0 +h) −y1 =ψ � x0 + , yˆ �                    � �            ,                                         (100)
                          �    2 �                         � 2�
      где yˆ ( x) – точное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию
           �   h�
       yˆ � x + � = yˆ .
             � 2�

Страницы