Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 33 стр.

                                                                33
       где
       ~                   ~         �                i −1
                                                           ~ ~ �
       k1 =hf (x0 , y 0 ), k i =hf �� x0 +α i h, y 0 +∑ βij k j �� .
                                       �              j =1        �

       Пусть p >s, r ≥~r . Тогда оценка локальной погрешности ρ s формулы (105)
имеет вид
       ρ s = y1p −y1s +O (h p +1 )

или, оставляя только члены главного порядка,
       ρ s ≅ y1p −y1s .                                                                            (106)
       Полученная оценка погрешности (106) требует ~r +r −1 вычислений правой
части уравнения (1).
       Если коэффициенты в формулах (104) и (105) таковы, что
                       ~
       α i =α~i , βij =βij , i =1,2,..., ~
                                         r,                                                        (107)
         ~
то k i =k i , i =1,2,..., ~r , и для локальной погрешности (13?) получается выражение
вида
                            r
       ρ s ≅ y1p −y1s =∑ q i k i .                                                                 (108)
                           i =1


где     qi = pi −~
                 pi , i =1,2,..., ~
                                  r , qi = pi , i =~
                                                   r +1,..., r
       Величина
              r
       E =∑ q i k i                                                                                (109)
             i =1


называется контрольным членом. Использование контрольных членов для
комбинаций          специально           подобранных              формул   позволяет      уменьшить    по
сравнению с правилом Рунге (102) и оценкой (106) количество вычислений
правой части уравнения (1).
       Пример 1. Комбинация независимых формул.
       Для метода третьего порядка ( s =3, ~r =3)
                    1
       y1 = y 0 +     (K1 +3K 3 ),                                                             (110)
                    4
                                     �    1        1 �               �    2        2     �
       K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + h, y 0 + K 1 � , K 3 =hf � x0 + h, y 0 + K 2 � ,
                                       �  3        3 �                 �  3        3       �