Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 35 стр.

                                                        35
                                    �    h       K �             �     h       K �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + , y 0 + 1 � , K 3 =hf � x 0 + , y 0 + 2 � ,
                                      �  2       2 �               �   2       2 �

      K 4 =hf (x 0 +h, y 0 +K 3 ),

и метод второго порядка (22) удовлетворяют условию (107), при этом
p =4, s =2, r =4, ~
                  r =2 . Контрольный член (109) записывается в виде

           1
      E=     (K1 −4 K 2 +2 K 3 +K 4 )                                                         (116)
           6
и имеет порядок O(h 3 ) .
Замечание .      Если оценку погрешности метода (22) проводить по правилу Рунге,
                 то потребуется пять обращений к правой части исходного
                 уравнения. В примере 2 для такой оценки достаточно трех
                 обращений, в примере 3 – двух обращений к правой части.


         4.4. Вложенные методы оценки локальной погрешности
      Вложенные методы оценки локальной погрешности решения задачи Коши –
это методы, основанные на комбинации приближенных методов порядка p и
p +1 . Как и в предыдущем пункте, два приближенных значения решения в одной

точке позволяют получить погрешность интегрирования метода порядка p . Но
вложенные методы – это такие методы, в которых метод p -ого порядка
получается как “побочный продукт” метода                             ( p +1) -ого       порядка. Если в
предыдущем пункте брались два самостоятельных метода типа Рунге-Кутта
(4),(5), в которых коэффициенты α i , βij , p qi определялись из условия минимума
погрешности на шаге, то во вложенном методе берется один метод типа Рунге-
Кутта порядка p +1 . Для этого метода вычисляются необходимые значения k i (h) и
с их помощью подбирается новый приближенный метод порядка p , который,
естественно, уже не минимизирует погрешность на шаге и в этом смысле не
является методом Рунге-Кутта. Алгебра получения таких методов достаточно
громоздка, особенно для методов порядка p >4 , однако за 1967-1969 годы