Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

34
формула которого принадлежит двухпараметрическому семейству (27) и
соответствует значением
3
2
,
3
1
32
== αα
, остаточный член оценим с помощью
метода трех восьмых (33) четвертого порядка )4,4(
=
=
rp
()
432101
33
8
1
KKKKyy ++++= , (111)
()
,
3
1
,
3
1
,,
1002001
++== KyhxhfKyxhfK
()
32100421003
,,
3
1
,
3
2
KKKyhxhfKKKyhxhfK +−++=
+−+=
.
Замечание . Если оценивать погрешность метода (110) по правилу Рунге , то
требуется 8 обращений к правой части
),( yxf
вместо пяти по
рассмотренному в примере 1 методу.
Пример 2. Комбинация специально подобранных формул.
Методы (30)
()
32101
4
6
1
KKKyy +++= , (112)
() ()
21003
1
002001
2,,
2
,
2
,, KKyhxhfK
K
y
h
xhfKyxhfK +−+=
++== ,
и (22)
201
Kyy
+
=
, (113)
()
++==
2
,
2
,,
1
002001
K
y
h
xhfKyxhfK ,
удовлетворяют условию (107), при этом 2
~
,3,2,3
=
=
=
=
rrsp . Контрольный член
(109) записывается в виде
()
321
2
6
1
KKKE +−=
(114)
и имеет порядок )(
3
hO .
Пример 3. Комбинация специально подобранных формул.
Стандартный метод Рунге - Кутта четвертого порядка (32)
()
432101
22
6
1
KKKKyy ++++= (115) 
                                  34
формула которого принадлежит двухпараметрическому семейству (27) и
                                          1        2
соответствует значением α 2 = , α 3 = , остаточный член оценим с помощью
                                          3        3
метода трех восьмых (33) четвертого порядка ( p =4, r =4)
                1
      y1 = y 0 + (K1 +3K 2 +3K 3 +K 4 ),                                                       (111)
                8
                                    �     1        1 �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x 0 + h, y 0 + K1 � ,
                                      �   3        3 �

               �    2        1         �
      K 3 =hf � x0 + h, y 0 − K1 +K 2 � , K 4 =hf (x0 +h, y 0 +K 1 −K 2 +K 3 ).
                 �  3        3           �
Замечание .      Если оценивать погрешность метода (110) по правилу Рунге, то
                 требуется 8 обращений к правой части f ( x, y ) вместо пяти по
                 рассмотренному в примере 1 методу.
      Пример 2. Комбинация специально подобранных формул.
      Методы (30)
                1
      y1 = y 0 + (K 1 +4 K 2 +K 3 ) ,                                                          (112)
                6

                                    �     h       K �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x 0 + , y 0 + 1 � , K 3 =hf (x0 +h, y 0 −K 1 +2 K 2 ) ,
                                      �   2       2 �

      и (22)
      y1 = y 0 +K 2 ,                                                                          (113)

                                    �    h       K �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + , y 0 + 1 � ,
                                      �  2       2 �

удовлетворяют условию (107), при этом p =3, s =2, r =3, ~r =2 . Контрольный член
(109) записывается в виде
           1
      E=     (K1 −2 K 2 +K 3 )                                                                 (114)
           6
и имеет порядок O(h 3 ) .
      Пример 3. Комбинация специально подобранных формул.
      Стандартный метод Рунге-Кутта четвертого порядка (32)
                1
      y1 = y 0 + (K 1 +2 K 2 +2 K 3 +K 4 )                                                     (115)
                6

Страницы