Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 32 стр.

                                                                32
     Если в качестве приближения к решению в точке x принять y1 , то согласно
правилу Рунге [6] главная часть погрешности метода на двух последовательных
шагах h 2 равна

      y ( x0 +h) −y1 =( y1 −y1 ) ( 2 s −1) .                           (101)
     Вычисленное приближенное значение y1 можно уточнить, прибавив к нему
величину главного члена погрешности, то есть положив
      y ( x1 ) ≅ y1 = y1 +( y1 −y1 ) (2 s −1) .                        (102)
     Тогда
      y ( x1 ) −y1 =O(h s +2 ) .                                       (103)
     В данном способе оценки погрешности формула Рунге-Кутта (4,5)
применяется три раза и требуется 3q −1 вычислений правой части           f ( x, y )

дифференциального уравнения (1), поэтому при сложных и трудоемких для
вычисления правых частях этот способ влечет большие вычислительные затраты.


           4.3. Оценка локальной погрешности на основе комбинации методов
               разного порядка точности
     Этот метод, так же как и метод оценки погрешности Рунге, основан на
сравнении двух приближенных значений решения в одной точке, только эти
значения вычисляются по формулам типа (4),(5) разных порядков точности с
одним и тем же шагом.
     Пусть выбраны два метода типа Рунге-Кутта разных порядков. Один метод
порядка p :
                    r
      y1p = y 0 +∑ pi k i ,                                             (104)
                   i =1


     где
                                    �                i −1        �
      k1 =hf (x0 , y 0 ), k i =hf �� x0 +α i h, y 0 +∑ βij k j �� ,
                                      �              j =1          �
     другой – порядка s :
                    ~
                    r
                    ~
      y = y 0 +∑ ~
       s
       1         pi k i ,                                               (105)
                   i =1