Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 37 стр.

                                                       37
                                    �    h       K �             �    h       K   K �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + , y 0 + 1 � , K 3 =hf � x0 + , y 0 + 1 + 2 � ,
                                      �  3       3 �               �  3       6   6 �

               �     h       K   3 �               �            K   3            �
      K 4 =hf � x 0 + , y 0 + 1 − K 3 � , K 5 =hf � x0 +h, y 0 + 1 − K 3 +2 K 4 � ,        (124)
                 �   2       8 8 �                   �          2 2                �

позволяет оценить метод третьего порядка
                 1
      y1 = y 0 + (K 1 +3K 3 +4 K 4 +2 K 5 ) .                                              (125)
                10
Контрольный член порядка O(h 4 ) в данном случае записывается в виде
            1
      E=      (2 K1 −9 K 3 +8K 4 −K 5 ) .                                                  (126)
           30
      Пример 4.
      Шестичленная формула метода Рунге-Кутта пятого порядка, построенная
Инглендом,
                 1
      y1 = y 0 +    (14 K1 +35K 4 +162 K 5 +125K 6 ),                                      (127)
                336
где
                                    �    h       K �             �    h       K   K �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + , y 0 + 1 � , K 3 =hf � x0 + , y 0 + 1 + 2 � ,
                                      �  2       2 �               �  2       4    4 �

                                                  �    2        7     10    1     �
      K 4 =hf (x0 +h, y 0 −K 2 +2 K 3 ), K 5 =hf � x0 + h, y 0 + K 1 + K 2 + K 4 � , (128)
                                                    �  3        27    27    27      �

               �     h
      K 6 =hf � x 0 + h, y 0 −
                               1
                                  (28K1 −125K 2 +546 K 3 +54 K 4 +378K 5 )�� ,
                 �   5        625                                           �
дает оценку для метода четвертого порядка
                1
      y1 = y 0 + (K 1 +4 K 3 +K 4 )                                                        (129)
                6
в виде контрольного члена порядка O(h 5 )
            1
      E=       (−42 K1 −224 K 3 −21K 4 +162 K 5 +125K 6 ).                                 (130)
           336
Замечание .      Методы, приведенные в примерах 1-4, позволяют уменьшить число
                 обращений к правой части исходного уравнения по сравнению с
                 тем, которое имеет место при пользовании правилом Рунге:
                 пример 1 – метод второго порядка, четыре обращения вместо пяти;
                 пример 2 – метод второго порядка, три обращения вместо пяти;