Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

39
Легко видеть , что при
qy
n
≤
мера погрешности
n
V
совпадает с абсолютной
погрешностью приближенного решения, а при
qy
n
>
– с ее взвешенной
относительной погрешностью .
Замечание 1. На практике идея рассмотрения меры погрешности реализуется
следующим образом. Пусть
)()(
,
ОтнАбс
εε
– наибольшие допустимые
значения абсолютной и относительной погрешностей
соответственно . Тогда считают, что мера погрешности
удовлетворяет заданным требованиям, если выполняется условие
µνε +≤
nn
y
, (133)
где
>
≤
=
>
≤
=
.,0
,,
,,
,,0
)(
)(
qyесли
qyесли
qyесли
qyесли
n
n
Абс
n
Отн
n
ε
µ
ε
ν (134)
Заметим, что если в некоторой точке
n
x верно равенство
1=
n
y
, то
относительная и абсолютная погрешности приближенного решения
в этой точке совпадают. Поэтому часто задают одно значение
)0(
ε и
проверяют выполнение условия (133), где
>
≤
=
>
≤
=
.1,0
,1,
,1,
,1,0
)0(
)0(
n
n
n
n
yесли
yесли
yесли
yесли
ε
µ
ε
ν
(135)
Замечание 2. O приближенном решении с наперед заданным числом верных
знаков.
Пусть требуется построить приближенное решение , имеющее
m
верных знаков при записи в десятичной системе счисления.
Предположим, что значение
n
y имеет порядок
p
, тогда оно
представимо в виде
)0(...10...1010
1
12
2
1
1
≠+⋅++⋅+⋅=
−−−
aaaay
m
m
pp
n
. (136)
Напомним, что цифра
k
a
считается верной, если абсолютная
погрешность не превосходит
kp −
10
2
1
. Если мы хотим иметь
m
                                                    39
     Легко видеть, что при y n ≤q мера погрешности Vn совпадает с абсолютной
погрешностью приближенного решения, а при                           y n >q      – с ее взвешенной
относительной погрешностью.
Замечание 1. На практике идея рассмотрения меры погрешности реализуется
             следующим образом. Пусть ε ( Абс ) , ε (Отн) – наибольшие допустимые
             значения          абсолютной             и      относительной             погрешностей
             соответственно.           Тогда        считают,         что        мера   погрешности
             удовлетворяет заданным требованиям, если выполняется условие
                          εn ≤ν y n +µ ,                                                 (133)
             где
                 �� 0, если y n ≤q,          �� ε ( Абс) , если y n ≤q,
             ν =� (Отн)                  µ =�                                             (134)
                   �� ε   , если y n >q,       �� 0, если y n >q.

             Заметим, что если в некоторой точке xn верно равенство y n =1 , то
             относительная и абсолютная погрешности приближенного решения
             в этой точке совпадают. Поэтому часто задают одно значение ε ( 0 ) и
             проверяют выполнение условия (133), где
                � 0, если yn ≤1,       � ε ( 0 ) , если y n ≤1,
            ν =� (0)               µ =�                                                   (135)
                 � ε , если yn >1,      � 0, если y n >1.
Замечание 2. O приближенном решении с наперед заданным числом верных
             знаков.
             Пусть требуется построить приближенное решение, имеющее m
             верных знаков при записи в десятичной системе счисления.
             Предположим, что значение y n имеет порядок p , тогда оно
             представимо в виде
             y n =a1 ⋅10 p −1 +a 2 ⋅10 p −2 +... +a m ⋅10 m −1 +... (a1 ≠0) .            (136)
             Напомним, что цифра a k считается верной, если абсолютная
                                                          1 p−k
             погрешность не превосходит                     10 . Если мы хотим иметь m
                                                          2

Страницы