Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
пример 3 – метод третьего порядка , пять обращений вместо восьми ;
пример 4 – метод четвертого порядка , шесть обращений вместо
одиннадцати .
4.5. Мера погрешности приближенного решения
Выше рассматривались практические способы оценки глобальных и
локальных абсолютных погрешностей решения, которые лежат в основе многих
алгоритмов получения приближенных решений с наперед заданной верхней
границей погрешности . Однако бывают ситуации, когда задание абсолютных
погрешностей решения не только неразумно , но и приводит к принципиальной
невозможности получения решения на данной ЭВМ . В самом деле , пусть
допустимая абсолютная погрешность равна
k−
10 , а максимальное значение
решения –
p−
10 . Тогда для того , чтобы требуемая точность была достигнута ,
количество используемых при вычислениях десятичных знаков
t
должно
удовлетворять неравенству
pkt
+
>
. (131)
Очевидно , что значение
t
может превзойти длину разрядной сетки ЭВМ и
вычисления станут невозможны.
Подобные ситуации не возникают, когда задается не абсолютная, а
относительная погрешность приближенного решения. Однако при заданной
относительной погрешности надо следить , чтобы приближенное решение не
обращалось в нуль, вернее, чтобы приближенное решение не попадало в малую
окрестность нуля .
Более гибким инструментом, чем абсолютная и относительная
погрешности , является мера погрешности . Мерой погрешности приближенного
решения называется дискретная функция
p
p
n
nn
n
q
y
yxy
V
−
=
)(
, (132)
где
q
– некоторое положительное число , выбираемое с учетом особенностей
решаемой задачи; 0
=
p при
qy
n
≤
; 1
=
p при
qy
n
>
. 
                                              38
                   пример 3 – метод третьего порядка, пять обращений вместо восьми;
                   пример 4 – метод четвертого порядка, шесть обращений вместо
                   одиннадцати.


        4.5. Мера погрешности приближенного решения
     Выше рассматривались практические способы оценки глобальных и
локальных абсолютных погрешностей решения, которые лежат в основе многих
алгоритмов получения приближенных решений с наперед заданной верхней
границей погрешности. Однако бывают ситуации, когда задание абсолютных
погрешностей решения не только неразумно, но и приводит к принципиальной
невозможности получения решения на данной ЭВМ. В самом деле, пусть
допустимая абсолютная погрешность равна 10 −k , а максимальное значение
решения – 10 −p . Тогда для того, чтобы требуемая точность была достигнута,
количество используемых при вычислениях десятичных знаков t должно
удовлетворять неравенству
      t >k + p .                                                              (131)
     Очевидно, что значение t может превзойти длину разрядной сетки ЭВМ и
вычисления станут невозможны.
     Подобные ситуации не возникают, когда задается не абсолютная, а
относительная погрешность приближенного решения. Однако при заданной
относительной погрешности надо следить, чтобы приближенное решение не
обращалось в нуль, вернее, чтобы приближенное решение не попадало в малую
окрестность нуля.
     Более         гибким           инструментом,   чем   абсолютная   и   относительная
погрешности, является мера погрешности. Мерой погрешности приближенного
решения называется дискретная функция
             y ( x n ) −y n
      Vn =            p
                              qp,                                             (132)
                 yn

где q – некоторое положительное число, выбираемое с учетом особенностей
решаемой задачи; p =0 при y n ≤q ; p =1 при y n >q .

Страницы