Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 41 стр.

                                 41
Однако бывает, что физический смысл задачи или иные соображения
подсказывают, что оценку погрешности достаточно производить только по одной
из компонент решения. Вспомнив,          что погрешность решения системы
дифференциальных уравнений является вектором размерности M, можно
представить ситуации, когда оценка погрешности проводится по некоторой
векторной норме погрешности.
     Оценка локальной погрешности         при решении системы обыкновенных
дифференциальных уравнений также проводится чаще всего покомпонентно, т.е.
тем или иным методом оценки локальной погрешности (методом Рунге, или на
основе комбинаций формул разных порядков точности, или вложенным методом)
вычисляются главные части погрешностей y i ( x0 +h) −y1i для всех компонент
решения ( (i =1,2,..., M ). Затем определяется наибольшая из погрешностей, которая
и принимается за оценку погрешности системы. Однако за локальную
погрешность решения системы уравнений можно принять и иные объекты –
локальную погрешность некоторой фиксированной компоненты решения, среднее
арифметическое погрешностей отдельных компонент и т.п.
     Заметим, что в тестах Заданий всегда особо оговаривается, что принимается
за оценку погрешности численного интегрирования системы уравнений.

     5. Автоматический выбор шага интегрирования задачи Коши
     Интуитивно понятно, что переменных шаг интегрирования позволяет
учитывать особенность поведения решения и минимизировать вычислительные
затраты при сохранении требуемой точности численного решения. Методами
вариационного вычисления показано, что при заданном уровне глобальной
погрешности решения вычислительные затраты будут минимальны, если
локальная погрешность на каждом шаге будет постоянна. Этот факт является
центральной идеей алгоритмов автоматического выбора шага.
Замечание . Погрешность округления в настоящем методе не учитывается.