Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

42
5.1. Метод удвоения и деления шага пополам
Пусть для получения приближенного решения задачи Коши (1),(2) выбран
некоторый метод типа Рунге - Кутта и имеется в распоряжении способ оценки
локальной погрешности выбранного метода . Как и ранее, обозначим через
1+n
ε
локальную погрешность метода в точке hx
n
+
, а приближенное значение ,
вычисленное с шагом
h
–
h
n
y
1+
. Пусть наибольшая допустимая локальная
погрешность шага интегрирования равна 0
>
ε
. Тогда если
εε >
+ 1 n
, (139)
то приближенное значение
h
n
y
1+
считается неудовлетворительным по точности и
выбирается новое значение шага
2
)1(
h
h = . (140)
С этим новым шагом по той же формуле Рунге - Кутта вычисляется новое
значение
)1(
1
h
n
y
+
в новой точке
)1(
hx
n
+ . Если оценка локальной погрешности
)1(
1+n
ε на
новом шаге
)1(
h опять превосходит заданную наибольшую допустимую
локальную погрешность
ε
εε >
+
)1(
1n
, (141)
то шаг снова делится пополам
2
)1(
)2(
h
h =
. (142)
и вычисления повторяются. Так происходит до тех пор, пока локальная
погрешность не станет меньше или равна
ε
при какой-то величине шага , которую
обозначим
n
h :
ε
ε
≤
+1n
. (143)
Дальнейшее интегрирование уравнения будет производиться из точки
nnn
hxx
+
=
+1
с шагом
1+n
h , который выбирается по следующему правилу . Если
локальная погрешность
1+ n
ε
на шаге
nnn
xxh
−
=
+1
удовлетворяет неравенству
k
n
ε
ε <
+1
, (144) 
                                                          42
        5.1. Метод удвоения и деления шага пополам
      Пусть для получения приближенного решения задачи Коши (1),(2) выбран
некоторый метод типа Рунге-Кутта и имеется в распоряжении способ оценки
локальной погрешности выбранного метода. Как и ранее, обозначим через εn+1
локальную погрешность метода в точке xn +h , а приближенное значение,
вычисленное с шагом h – y nh+1 . Пусть наибольшая допустимая локальная
погрешность шага интегрирования равна ε >0 . Тогда если
      εn +1 >ε ,                                                          (139)
то приближенное значение y nh+1 считается неудовлетворительным по точности и
выбирается новое значение шага
      h (1) =h .                                                          (140)
              2
      С этим новым шагом по той же формуле Рунге-Кутта вычисляется новое
значение y nh+1 в новой точке xn +h (1) . Если оценка локальной погрешности εn(1+)1 на
             (1)




новом шаге         h (1)   опять превосходит заданную наибольшую допустимую
локальную погрешность ε
                                  εn(1+)1 >ε ,                            (141)

то шаг снова делится пополам
                                            (1)
                                  h ( 2) =h           .                   (142)
                                                  2
и вычисления повторяются. Так происходит до тех пор, пока локальная
погрешность не станет меньше или равна ε при какой-то величине шага, которую
обозначим hn :

                                  εn +1 ≤ε .                              (143)
      Дальнейшее интегрирование уравнения будет производиться из точки
x n +1 =x n +hn с шагом hn +1 , который выбирается по следующему правилу. Если

локальная погрешность εn +1 на шаге hn =x n +1 −xn удовлетворяет неравенству
                                         ε
                                  εn +1 < ,                               (144)
                                         k

Страницы