Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 12 стр.

                                                                                  12
         � dy 1
          ��               = f 1 (x, y 1 , y 2 ),
                     dx
             �
               � dy = f 2 (x, y 1 , y 2 ),
                         2


                �� dx
                  y 1 ( x0 ) = y 01 , y 2 ( x0 ) = y 02 .

и двучленную формулу метода Рунге-Кутта (20)
         �            1� _       _
                                     �
            y
         �� 1 = y 0 +    � K 1 +K  2� ,
                      2�               �
         �                                                                                                                (37)
               _
         � K 1 =hf (x0 , y0 ), k 2 =hf � x0 +h, y0 +K 1 � .     �             _
                                                                                      �
          ��                            �                �
         Обращаем внимание читателя на то, что в записях yi , k i , yil , k il верхний
индекс обозначает номер компоненты векторного решения, а нижний индекс –
номер точки, в которой записывается рассматриваемое решение. Распишем
покомпонентно векторную формулу (37):
                        1
                                 (                   )
                                                     1
             y11 =y10 + K11 +K 21 , y12 =y02 + K12 +K 22 ,
                        2                            2
                                                                        (                 )
                           (                    )
             K11 =hf 1 x0 , y10 , y02 , K12 =hf 2 x0 , y10 , y02 ,  (             )
                           (
             K 21 =hf 1 x0 +h, y10 +K11 , y02 +K12 ,                    )
                            (
             K 22 =hf 2 x0 +h, y10 +K11 , y 02 +K12 .                    )
         Выражения для главных членов погрешностей в случае решения систем
уравнений (35) становятся громоздкими, мы их не приводим. Однако подчеркнем,
что выводы относительно главных членов погрешности, сделанные для одного
дифференциального                               уравнения,              остаются              в   силе   и   для     системы
дифференциальных уравнений. Если для системы дифференциальных уравнений
записывается аналог метода типа Рунге-Кутта порядка s , то главная часть
погрешности для каждой компоненты решения y 1 , y 2 ,..., y M имеет также порядок
s +1 :

                                                                             ( )
                                                            q
         ϕ ql (h) = y l ( x0 +h) −y 0l −∑ p qi k il (h) =O h s +1                                                  (38)
                                                         i =1


         Когда говорят, что решение системы обыкновенных дифференциальных
уравнений получено с абсолютной погрешностью ε , то подразумевают, что все
компоненты решения имеют абсолютную погрешность, не превышающую ε .