Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
()
++==
1002001
3
2
,
3
2
,, KyhxhfKyxhfK
.
Погрешность на шаге метода (24), как следует из (16-18), имеет вид
(){}
)(
6
3
3
2
0
0
hoffff
h
yy
xx
yyx
+
′′
+
′
=
=
=
ϕ . (25)
1.4. Методы третьего порядка точности (трехчленные формулы , q=3)
Формулы вида
)()()(
23323213101
hkphkphkpyy
+
+
+
=
, (26)
где
(
)
()
()
,)()(,)(
,)(,)(
,,)(
2321310303
1210202
001
hKhKyhxhfhK
hKyhxhfhK
yxhfhK
ββα
βα
+++=
++=
=
образуют три семейства формул типа Рунге - Кутта третьего порядка . Одно
семейство – двухпараметрическое со свободными параметрами
32
,
α
α
:
(
)
)()()(1
2332321333201
hKphKphKppyy
+
+
−
−
+
=
, (27)
где
3332
, pp определяются из системы двух линейных уравнений
=+
=+
,
3
1
2
1
2
333
2
232
333232
αα
αα
pp
pp
(28)
причем 0,0,
3
2
,
332232
≠≠≠≠ p αααα . Коэффициенты
ij
β
вычисляются простым
пересчетом:
(
)
32331
1
33232221
,6, βαβαβαβ −===
−
p . (29)
Два других семейства – однопараметрические со свободным параметром
0
33
≠
p
. Для первого из этих семейств
333232
4
3
,
3
2
pp −=== αα
, для второго –
4
3
,0,
3
2
3232
=== pαα . Для обоих семейств имеют место соотношения (29).
Наиболее употребительным методом третьего порядка является метод,
получаемый из (27-29) при 1,
2
1
32
== αα : 
                                                                9
                                        �     2        2 �
          K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x 0 + h, y 0 + K 1 � .
                                          �   3        3 �

      Погрешность на шаге метода (24), как следует из (16-18), имеет вид
                 h3
      ϕ2 =          {( f x′ + ff y′ )f y′ }xy==xy0 +o(h 3 ) .               (25)
                 6                               0




            1.4. Методы третьего порядка точности (трехчленные формулы, q=3)
      Формулы вида
          y1 = y0 + p31 k1 (h) + p32 k 2 (h) + p 33 k 2 (h) ,               (26)
      где
          K1 (h) =hf (x0 , y0 ),
          K 2 ( h) =hf (x0 +α 2 h, y0 +β21 K1 ( h) ),
          K 3 (h) =hf (x0 +α 3 h, y0 +β31 K1 ( h) +β32 K 2 (h) ),
образуют три семейства формул типа Рунге-Кутта третьего порядка. Одно
семейство – двухпараметрическое со свободными параметрами α 2 ,α 3 :
          y1 =y 0 +(1 − p32 − p33 )K1 ( h) + p32 K 2 (h) + p33 K 2 (h) ,    (27)
где p32 , p33 определяются из системы двух линейных уравнений
      �                     1
      �� p 32α 2 +p 33α 3 = 2
        �                                                                   (28)
          � p α 2 + p α 2 =1 ,
           ��
              32 2   33 3
                            3
                                 2
причем α 2 ≠α 3 , α 2 ≠ , α 2 ≠0, p33 ≠0 . Коэффициенты βij вычисляются простым
                                 3
пересчетом:
          β21 =α 2 , β32 =(6α 2 p33 ) , β31 =α 3 −β32 .
                                           −1
                                                                            (29)
      Два других семейства – однопараметрические со свободным параметром
                                                 2       3
p 33 ≠0 . Для первого из этих семейств α 2 =α 3 = , p32 = − p33 , для второго –
                                                 3       4
     2                3
α 2 = , α 3 =0, p 32 = . Для обоих семейств имеют место соотношения (29).
     3                4
      Наиболее употребительным методом третьего порядка является метод,
получаемый из (27-29) при α 2 = 1 2 ,α 3 =1 :

Страницы