Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 7 стр.

                                                                                7
        ϕ2′′ (0) ={(1 −2α 2 p 22 ) f x′ +(1 −2 β21 p 22 ) ff y′ }x =x0 .                                                          (14)
                                                                        y =y0


        Для того, чтобы эти две первые производные обратились в нуль,
необходимо, чтобы неизвестные параметры удовлетворяли системе уравнений
        � 1 − p 21 − p 22 =0
         �
           � 1 −2α 2 p 22 =0                                                                                                      (15)
        � 1 −2 β p =0.
         �      21 22


        Третью производную
                   {(                 )                                             (         )
        ϕ 2′′′(0) = 1 −3α 22 p22 f xx′′ +2(1 −3α 2 β21 p 22 ) ff xy′′ + 1 −3β212 p 22 f 2 f yy′′ +( f x′ + ff y′ ) f y′   }
                                                                                                                          x =x0
                                                                                                                          y =y0
                                                                                                                                  (16)

за счет выбора параметров α 2 , β21 , p21 , p 22 обратить в нуль для произвольной
функции f ( x, y ) нельзя. Следовательно, максимальное количество членов в
разложении погрешности ϕ 2 (h) по степеням h , обращающихся в нуль, равно
двум:
                     h3
        ϕ q ( h) =      ϕ 2′′′(0) +o(h 3 ) .                                                                                      (17)
                     6
        Система уравнений (15) имеет однопараметрическое семейство решений.
Если в качестве параметра выбрать α 2 , то
                                   1                  1
        β21 =α 2 ,       p 22 =        ,    p 21 =1 −     ,                                                                       (18)
                                  2α 2               2α 2

причем α 2 ≠0 . Заметим, что параметр α 2 не может быть равным нулю, поскольку
в этом случае теряет смысл второе уравнение системы (15).
        Таким           образом,               мы            показали,                  что   формулы        (11)             образуют
однопараметрическое семейство формул типа Рунге-Кутта второго порядка
точности
                    �     1       �            � 1       �
        y1 = y 0 +�� 1 −          �� k1 (h) +��          �� k 2 (h) ,                                                             (19)
                      �  2α 2       �           � 2α 2   �

где
        k1 (h) =hf (x0 , y 0 ),
        k 2 (h) =hf (x0 +α 2 h, y 0 +α 2 k1 (h) ),

        α 2 – числовой параметр, отличный от нуля.