Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
Погрешность метода на шаге , или локальная погрешность метода , есть
величина
∑
=
−−+=
q
i
iqiq
hkpyhxyh
1
00
)()()(ϕ
. (7)
Ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной
степени:
)()0(
)!1(
)(
1)1(
1
++
+
+
+
=
ss
q
s
q
ho
s
h
h ϕϕ
. (8)
Если коэффициенты qiiji
p ,,
β
α
определены так, что погрешность имеет
вид (8), то говорят, что формула (4) метода Рунге - Кутта имеет порядок точности
s
, при этом первое слагаемое в (8) называют главным членом локальной
погрешности метода на шаге .
Известно , что если
4,3,2,1
=
q
, то можно подобрать такие коэффициенты
qiiji
p ,,
β
α
, что получится метод Рунге - Кутта порядка точности
q
. Для
5
=
q
невозможно построить метод типа Рунге - Кутта пятого порядка точности .
Подробное описание коэффициентов для
4,3,2,1
q
можно найти в книге [1].
Ниже мы подробно описываем получение двучленных методов Рунге - Кутта
)2(
=
q
, а для методов с большим количеством членов ограничиваемся
приведением некоторых расчетных формул.
1.2. Метод первого порядка точности (одночленная формула , q=1)
Единственно возможный одночленный метод Рунге - Кутта первого порядка
точности известен как метод Эйлера
(
)
0001
, yxhfyy
+
=
, (9)
для которого разложение (8) имеет вид 
                                       5
       Погрешность метода на шаге, или локальная погрешность метода, есть
величина
                                    q
       ϕq (h) =y( x0 +h) −y0 −∑ pqi ki (h) .                                       (7)
                                   i =1

       Ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной
степени:

                hs+1 (s+1)
       ϕq (h) =       ϕq (0) +o(hs+1 ) .
               (s +1)!                                                             (8)


       Если коэффициенты       αi ,βij , pqi   определены так, что погрешность имеет
вид (8), то говорят, что формула (4) метода Рунге-Кутта имеет порядок точности
s   , при этом первое слагаемое в (8) называют главным членом локальной
погрешности метода на шаге.

       Известно, что если    q =1,2,3,4 , то можно подобрать такие коэффициенты
αi ,βij , pqi ,   что получится метод Рунге-Кутта порядка точности      q.   Для   q =5
невозможно построить метод типа Рунге-Кутта пятого порядка точности.

Подробное описание коэффициентов для              q =1,2,3,4 можно найти в книге [1].
Ниже мы подробно описываем получение двучленных методов Рунге-Кутта

(q =2) ,     а для методов с большим количеством членов ограничиваемся
приведением некоторых расчетных формул.


          1.2. Метод первого порядка точности (одночленная формула, q=1)
       Единственно возможный одночленный метод Рунге-Кутта первого порядка
точности известен как метод Эйлера

        y1 =y0 +hf (x0 , y0 ),                                                     (9)
для которого разложение (8) имеет вид

Страницы