Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 6 стр.

                                                    6

              h2
      ϕ1 (h) = {f x′ +ff y′ }x=x0 +o(h 2 ) .                                                  (10)
              2              y =y0



          1.3. Методы второго порядка точности (двухчленные формулы, q=2)
      Двухчленные формулы метода Рунге-Кутта имеют вид

       y1 =y0 +p21k1(h) +p22k2 (h) ,                                                          (11)
      где

      k1 (h) =hf (x0 , y0 ),
      k2 (h) =hf (x0 +α2h, y0 +β21k1 (h)).
      В     формулах       (11)    присутствуют         четыре      неизвестных        параметра

α2 , β21, p21, p22.   Для их определения построим вспомогательную функцию,
являющуюся погрешностью на шаге конструируемого метода Рунге-Кутта.
      ϕ2 (h) =y(x0 +h) −y0 −p21hf (x0 , y0 ) −p22hf (x0 +α2 h, y0 +β21hf (x0 , y0 )). (12)
      Потребуем, чтобы в разложении по степеням                            h    функции       ϕ 2 (h)

максимальное число членов обратилось в нуль. Первые две производные по
переменной h
      ϕ2′ (h) =y′(x0 +h) −p21f (x0, y0 ) −p22 f (x0 +α2h, y0 +β21hf(x0, y0 )) −
      −p22h(α2 fx′(x0 +α2h, y0 +β21hf(x0, y0 )) +β21f (x0, y0 ) f y′(x0 +α2h, y0 +β21hf(x0, y0 ))),

      ϕ2′′ (h) =y′′(x0 +h) −2 p22(α2 f x′(x0 +α2h, y0 +β21hf (x0 , y0 )) +
      +β21 f (x0 , y0 ) f y′ (x0 +α2h, y0 +β21hf (x0 , y0 )))
                d
      −p22h (α2 f x′(x0 +α2h, y0 +β21hf (x0 , y0 )) +
      +β21 f (x0 , y0 ) f y′ (x0 +α2h, y0 +β21hf (x0 , y0 )))
               dx

при   h =0    принимают значения

      ϕ2′ (0) =(1−p21 −p22) f (x0 , y0 ) ,                                                    (13)