Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
на сетке узлов
X
xxxxx
N
+<<<<<
0210
...
. (3)
Методы типа Рунге - Кутта являются явными одношаговыми методами , т.е .
такими , которые последовательно в каждом узле
i
x сетки (3) определяют
приближенное решение
i
y
на основе известного значения приближенного
решения
1−i
y
в предыдущем узле
1−i
x
. Основная идея метода была
предложена К. Рунге в 1895г., а затем развита В . Кутта в 1901г. Согласно
предложению Рунге , приближенное решение
1
y
в узле
hxx
+
=
01
ищется в
виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами
)
(...)()(
221101
hkphkphkpyy
qqqqq
+
+
+
+
=
, (4)
где
(
)
()
()
.)(...)(,)(
...
,)(,)(
,,)(
11,1100
1210202
001
hkhkyhxhfhk
hkyhxhfhk
yxhfhk
qqqqqq −−
++++=
++=
=
ββα
βα
(5)
Коэффициенты
qiiji
p ,, βα
определяются из требования, чтобы
погрешность равенства (4) на точном решении задачи (1),(2) имела возможно
высокий порядок малости при произвольном шаге
h
для любых уравнений вида
(1).
Запишем точное решение
)(
1
xy
в узле
hx +
0
по формуле Тейлора
)(
)!1(!
...
2
)(
)1(
1
)(
00
2
001
ξ
+
+
+
+++
′′
+
′
+=
s
s
s
s
y
s
h
y
s
h
y
h
yhyxy
, (6)
где
100
)()(
0
),( xxxyy
kk
<<= ξ
. 
                                                   4
на сетке узлов

       x0

Страницы