Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 8 стр.

                                       8
Замечание 1. Для начальных задач Коши естественным является предположение,
                  что решение в точке ( x0 +h) зависит от поведения правой части
                  уравнения (1) на отрезке [ x0 , x0 +h] . Поэтому в формулах (19)
                  обычно полагают, что α 2 ∈(0,1] .
Замечание 2. Нельзя выбрать наилучшее значение параметра α 2 с точки зрения
                  малости абсолютной величины главного члена погрешности (17).
                  Для одних уравнений это будет одно значение, для других – другое
                  [2].
     Рассмотрим несколько наиболее часто используемых примеров двучленные
формул метода Рунге-Кутта второго порядка.
     1. Пусть α 2 =1 . Тогда
               1
     y1 = y 0 + (K 1 +K 2 ),                                                                           (20)
               2
     K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf (x0 +h, y 0 +K 1 ) .

     Погрешность на шаге метода (20), как следует из (16),(17),(18), имеет вид

     ϕ2 =
             h3 � 1
             6 � 2
                          (               2
                                                        )
                 � − f xx′′ +2 ff xy′′ + f f yy′′ +( f x′ + ff y′ ) f y′ �
                                                                           �
                                                                                         +o( h 3 ) .   (21)
                                                                             �   x =x0
                                                                                 y =y0

                              1
     2. Пусть α 2 = . Тогда
                              2
     y1 = y 0 +K 2 ,                                                                                   (22)
                                   �     1        1 �
     K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x 0 + h, y 0 + K 1 � .
                                     �   2        2 �

     Погрешность на шаге метода (22), как следует из (16),(17),(18), имеет вид
         h3 � 1
     ϕ2 = �
         6 � 4
                      (                             )
                f xx′′ +2 ff xy′′ + f 2 f yy′′ +( f x′ + ff y′ ) f y′ �
                                                                        �
                                                                                      +o( h 3 ) .
                                                                          �   x =x0
                                                                              y =y0

     (23)
                              2
     3. Пусть α 2 = . Тогда
                              3
               1
     y1 = y 0 + (K 1 +3K 2 ) ,                                                                         (24)
               4