Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
Интеграл Фурье
Если
)
(
x
f
задана изначально на всей оси (-∞ , ∞ ) и не периодична на ней,
то разложить ее в ряд Фурье нельзя. Однако, при некоторых предположениях
ее можно представить в виде некоторого аналога ряда Фурье , а именно в виде
интеграла Фурье .
Если
)
(
x
f
удовлетворяет условиям теоремы 1 предыдущего раздела на любом
конечном промежутке
]
[
ll ,
−
и абсолютно интегрируема на всей оси , то для нее
справедлива интегральная формула Фурье :
гдеduuufdxf )1.2(,)cos()(
1
)(
0
∫∫
+∞
∞−
+∞
∗
−= λλ
π
)2.2(
,
2
)0()0(
)(),(
)(
−
−++
−
=
∗
родапервогоразрываточкаХесли
xfxf
xfстинепрерывноточкаХеслиxf
xf
Формула (2.1), вообще говоря, получается предельным переходом из ряда
Фурье при
∞
l
. В этом смысле интеграл Фурье понимают как предельную
форму ряда Фурье .
Интеграл Фурье часто записывают в комплексной форме:
)3.2()(
2
1
)(
)(
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−∗
= dueufdxf
xui λ
λ
π
Часто интеграл Фурье записывают в виде:
)4.2(,)sin)(cos)(()(
0
∫
+∞
+=∗ λλλλλ dXbXaxf
)5.2(sin)(
1
)(,cos)(
1
)(
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== uduufbuduufa где λ
π
λλ
π
λ
Примеры задач с решением
Представить интегралом Фурье следующие функции.
Пример 1.
>
<
=
.1,0
;1,1
)(
Xесли
Xесли
xf 
                                           16



                             Интеграл Фурье

    Если f (x) задана изначально на всей оси (-∞, ∞ ) и не периодична на ней,
то разложить ее в ряд Фурье нельзя. Однако, при некоторых предположениях
ее можно представить в виде некоторого аналога ряда Фурье, а именно в виде
интеграла Фурье.
Если f (x) удовлетворяет условиям теоремы 1 предыдущего раздела на любом
конечном промежутке [−l, l ]и абсолютно интегрируема на всей оси, то для нее
справедлива интегральная формула Фурье:
               ∗       1 +∞ +∞
              f ( x ) = ∫dλ ∫f (u ) cos( u −λ )du ,        (2.1) где
                       π 0 −∞
         � f ( x),  если Х −точка непрерывности f ( x)
 ∗        �
f ( x) =� f ( x +0) + f ( x −0)                                             (2.2)
            ��                  , если Х −точка разрыва первого рода
                    2

Формула (2.1), вообще говоря, получается предельным переходом из ряда
Фурье при l → ∞. В этом смысле интеграл Фурье понимают как предельную
форму ряда Фурье.
     Интеграл Фурье часто записывают в комплексной форме:
       ∗        1 +∞    +∞
      f ( x) =     ∫ dλ ∫f (u ) e iλ ( u −x ) du (2.3)
               2π −∞ −∞

Часто интеграл Фурье записывают в виде:

                 +∞
       f ∗( x ) = ∫(a (λ ) cos λ X +b (λ ) sin λX )dλ ,     ( 2.4)
                 0
                1 +∞                                1 +∞
     где a(λ ) = ∫ f (u ) cos λudu,          b(λ ) = ∫f (u ) sin λudu   (2.5)
                π −∞                                π −∞


                        Примеры задач с решением
Представить интегралом Фурье следующие функции.
Пример 1.

                     �� 1, если X <1;
            f ( x) =�
                       �� 0, если X >1.

Страницы