Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Решение. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и
следовательно, ее можно представить интегралом Фурье . Легко видеть, что
0
)
(
=
λ
b
( в силу четности функции
)),
(
x
f
а
.
sin2
cos
2
cos)(
2
)(
1
00
πλ
λ
λ
π
λ
π
λ ===
∫∫
XdxXdxxfa
Таким образом ,
∫
≠=
0
,1,cos
sin2
)( XXdxxf λ
λ
λ
π
что и требовалось доказать.
Следует заметить, что в точках
1
±
=
X
разрыва функции
)
(
x
f
интеграл Фурье ,
согласно теории, равен .
2
1
Действительно, поскольку
),
)1(sin)1(sin
(
1cossin2
000
∫∫∫
−
+
+
= λ
λ
λ
λ
λ
λ
π
λ
λ
λλ
π
d
X
d
X
d
X
то применение формул (2.2) дает
)),1(sgn()1(sgn(
2
1
cos
sin2
0
XXdX −++=
∫
λλ
λ
λ
π
откуда и следует указанный результат.
Пример 2.
).
(
)
sgn(
)
sgn(
)
(
a
b
b
X
a
X
x
f
>
−
−
−
=
Решение. Замечая, что
>
=
<<
=
<
=
,,0
;,1
;,2
;,1
;,0
)(
bXесли
bXесли
bXaесли
aXесли
aXесли
xf
имеем:
),sin(sin
2
cos
2
cos)(
1
)( abXdxXdxxfa
b
a
λλ
πλ
λ
π
λ
π
λ −===
∫∫
∞−
).cos(cos
2
sin
2
sin)(
1
)( baXdxXdxxfb
b
a
λλ
πλ
λ
π
λ
π
λ −===
∫∫
∞−
Следовательно, интеграл Фурье имеет вид : 
                                           17

Решение. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и
следовательно, ее можно представить интегралом Фурье. Легко видеть, что
b(λ ) =0 ( в силу четности функции f (x)), а

           2 +∞                  21              2 sin λ
  a(λ ) = ∫f ( x) cos λ Xdx = ∫cos λ Xdx =               .
           π 0                   π0                πλ
Таким образом,
           2 +∞ sin λ
   f ( x) = ∫         cos λXdx,    X ≠1, что и требовалось доказать.
           π 0 λ
Следует заметить, что в точках X =±1 разрыва функции f (x) интеграл Фурье,
                           1
согласно теории, равен . Действительно, поскольку
                           2
      +∞
   2 sin λ cos λ X          1 +∞ sin λ (1 +X )      +∞
                                                       sin λ (1 −X )
       ∫               dλ =  (  ∫              dλ +  ∫               dλ ),
  π 0         λ             π 0        λ             0       λ

то применение формул (2.2) дает

2 +∞ sin λ             1
   ∫       cos λ X dλ = (sgn(1 +X ) +(sgn(1 −X )),
π 0 λ                  2

откуда и следует указанный результат.
Пример 2. f ( x) =sgn( X −a ) −sgn( X −b)             (b >a ).
                               � 0, если X b,

имеем:

        1 +∞                 2b            2
a (λ ) = ∫f ( x ) cos λ Xdx = ∫cos λ Xdx = (sin λ b −sin λ a ),
        π −∞                 πa           πλ

       1 +∞                2b            2
b(λ ) = ∫f ( x) sin λ Xdx = ∫sin λ Xdx = (cos λ a −cos λ b).
       π −∞                πa           πλ

Следовательно, интеграл Фурье имеет вид:

Страницы