Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
a
e
Xa
Xdx
b
λ
λ
λ
π
λ
−
+∞
=
+
−=
∫
'
0
22
)
cos2
()( .
Интеграл Фурье функции
22
X
a
X
+
имеет вид : ).0(sin
0
≠
∫
+∞
−
aXde
a
λλ
λ
Пример 5. ).0()( >=
−
α
α X
exf
Решение. Рассматриваемая функция непрерывна , дифференцируема всюду, за
исключением точки Х =0, и абсолютно интегрируема на всей числовой оси .
Следовательно, она представима интегралом Фурье . Поскольку функция
)
(
x
f
-
четная, то
0
)
(
=
λ
b
а
.
)(
2
cos
2
)(
22
0
λαπ
α
λ
π
λ
α
+
==
∫
−∞
−
Xdxea
X
Таким образом , искомое представление данной функции интегралом Фурье имеет
вид
).0(
cos2
0
22
>
+
=
∫
+∞
−
αλ
λα
λ
π
α
α
d
X
e
X
Примеры для самостоятельного решения
Представить интегралом Фурье следующие функции:
Пример 1.
>
≤−
=
.,0
;),1(
)(
aХесли
аХесли
a
X
h
xf
Пример 2.
>
≤
=
.,0
;,sin
)(
π
π
Xесли
ХеслиX
xf
Пример 3.
>
≤
=
.
2
,0
;
2
,cos
)(
π
π
Xесли
XеслиX
xf
Пример 4.
>
≤
=
.
2
,0
;
2
,sin
)(
ω
π
ω
π
ω
n
tесли
n
tеслиtA
xf
Пример 5.
).0(sin)( >=
−
αβ
α
Xexf
X
                                                             19

                  2 +∞ cos λ Xdx '      −λ a
         b(λ ) =−( ∫ 2           ) λ =e      .
                  π 0 a +X     2

                                                                         +∞
                                              X                               −λ a
Интеграл Фурье функции                    2        2
                                                       имеет вид:        ∫e          sin λ Xdλ   (a ≠0).
                                         a +X                            0
                                 −α X
Пример 5. f ( x) =e        (α >0).
Решение. Рассматриваемая функция непрерывна, дифференцируема всюду, за
исключением точки Х=0, и абсолютно интегрируема на всей числовой оси.
Следовательно, она представима интегралом Фурье. Поскольку функция f (x) -
четная, то b(λ ) =0, а

              2 −∞                     2α
       a(λ ) = ∫e −α X cos λ Xdx =             .
              π 0                 π (α 2 +λ2 )
Таким образом, искомое представление данной функции интегралом Фурье имеет
вид

                    −α X     2α +∞ cos λ X
                e          =     ∫         dλ              (α >0).
                             π 0 α 2 +λ2


               Примеры для самостоятельного решения
    Представить интегралом Фурье следующие функции:

                           X�
                   � h (1 − ),                    если Х ≤а;
Пример 1. f ( x) =�        a
                    � 0,                          если Х >a.
                     �

                   �� sin X , если Х ≤π ;
Пример 2. f ( x) =�
                     �� 0, если X >π .
                       �                                      π
                         �� cos X ,                  если X ≤ ;
Пример3. f ( x) =�                                             2
                           �                                  π
                             ��             0,       если X > .
                                                              2
                                �                               2π n
                                  ��     A sin ω t ,   если t ≤      ;
                                                                 ω
Пример4.    f ( x) =�
                                     � 0,                       2π n
                                                       если t >      .
                                      ��                         ω
                                 −α X
Пример 5.            f ( x) =e          sin β X         (α >0).

Страницы