Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
Ответы : 1)
∫
∞+
−
=
0
2
cos
cos12
)(
,
λλ
λ
λ
π
Xd
a
a
h
xf
2).
∫
∞
−
=
0
2
sin
1
sin2
)( λλ
λ
πλ
π
Xdxf
3).
∫
∞+
−
=
0
2
.cos
1
2
cos
2
)( λλ
λ
π
λ
π
Xdxf
4).
.sin
2
sin
2
)(
0
2
2
∫
∞+
−
= λλ
ωλ
ω
λ
π
π
ω
td
n
A
tf
5).
]][[
).0(.
)()(
sin4
)(
0
2222
>
++⋅+−
=
∫
+∞
αλ
αβλαβλ
λλ
π
βα
d
X
xf
Преобразования Фурье
Интеграл Фурье (2.3) можно переписать в виде:
)1.3())(
2
1
(
2
1
)(
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−∗
= dueufdexf
uiXi λλ
π
λ
π
Рассмотрим интегралы
dueufF
ui
∫
+∞
∞−
=
λ
π
λ )()(
2
1
и )2.3()(
2
1
)( λλ
π
λ
dFexf
Xi
∫
+∞
∞−
−∗
=
Первый из них называется прямым преобразованием Фурье функции
)
(
u
(а
−
)
(
λ
F
образом Фурье
))
(
u
, второй - обратным преобразованием Фурье
(а
−
)
(
u
прообразом ).
Если
−
)
(
u
четная функция, то
∫
+∞
=
0
,cos)(
2
)( uduufF λ
π
λ
а
)3.3(cos)(
2
)(
0
λλλ
π
udFuf
∫
+∞
=
)
(
λ
F
и
)
(
u
называются косинус преобразованиями Фурье (прямым и
обратным соответственно).
Если
−
)
(
u
нечетная функция, то имеем синус - преобразования Фурье
(прямое и обратное ): 
                                                  20


             ,
                         +∞
Ответы: 1) f ( x) = 2h           1 −cos aλ
                             ∫                cos λXdλ
                   πa        0           λ2


                        2 ∞sin λ π
           2). f ( x) = ∫          sin λ Xdλ
                       π 0 1 −λ2
                                λπ
                           cos
                      2 +∞       2 cos λ Xdλ.
          3). f ( x) = ∫
                      π 0 1 −λ2

                                        2π n λ
                             +∞      sin
                      2 Aω                ω sin λ tdλ.
          4). f (t ) =           ∫
                        π        0   λ −ω 2
                                      2



                       4α β +∞        λ sin λ X
           5). f ( x) =      ∫                            dλ. (α >0).
                                     [                 ][
                        π 0 (λ −β ) +α 2 ⋅ (λ +β ) 2 +α 2
                                   2
                                                            ]

                             Преобразования Фурье

Интеграл Фурье (2.3) можно переписать в виде:
                      ∗          1 +∞ −i λ X          1 +∞
                    f ( x) =         ∫e      dλ     (     ∫ f (u )e i λ u du ) (3.1)
                                 2π −∞                2π −∞
Рассмотрим интегралы
                     +∞
                               iλu             ∗  1 +∞ −i λ X
         F (λ ) =      f (u ) e du и f ( x ) =                 F (λ )dλ (3.2)
                  2π ∫                                 ∫e
                  1

                     −∞                           2π  −∞
Первый из них называется прямым преобразованием Фурье функции f (u )
(а F (λ ) −образом Фурье f (u )) , второй - обратным преобразованием Фурье
(а f (u ) −прообразом).
Если f (u ) −четная функция, то
                2 +∞                               2 +∞
      F (λ ) =       f (u ) cos λ udu , а f (u ) =    ∫F (λ ) cos λ udλ
                π ∫
                                                                        (3.3)
                   0                               π  0
   F (λ ) и f (u ) называются косинус преобразованиями Фурье (прямым и
   обратным соответственно).
   Если f (u ) −нечетная функция, то имеем синус - преобразования Фурье
   (прямое и обратное):

Страницы