Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
∫
+∞
=
0
sin)(
2
)( uduufF λ
π
λ и
∫
+∞
=
0
)4.3(sin)(
2
)( λλλ
π
udFuf
Замечание. Функцию
)
(
λ
F
часто обозначают )( λf или ).( λ
∧
f
Примеры задач с решениями
Найти преобразование Фурье dtetfxF
xti
∫
+∞
∞−
−
= )(
2
1
)(
π
для функции
),
(
t
если:
Пример 1. ).0()( >=
−
α
α x
exf
Решение. Подставляя данную функцию в указанную формулу преобразования,
получаем:
).0(
2
cos
2
sin
2
cos
2
1
2
1
)(
22
0
>
+
==
=−==
∫
∫∫∫
∞+
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−−
α
α
α
ππ
πππ
α
ααα
t
tXdte
tXdte
i
tXdtedtexF
t
ttxtit
Пример 2. ).0()( >=
−
α
α x
xexf
Решение. Как и в предыдущем примере, находим:
).0(
)(
8
sin
2
sin
2
cos
2
1
2
1
)(
222
0
>
+
−=−=
=−==
∫
∫∫∫
∞+
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−−
α
α
α
ππ
πππ
α
ααα
x
x
itXdttei
tXdtte
i
tXdttedttexF
t
ttxtit
Заметим, что последний интеграл можно получить дифференцированием
интеграла из предыдущего примера по параметру х (дифференцирование под
знаком интеграла справедливо в силу равномерной сходимости интеграла
tXdtte
t
sin
0
∫
+∞
−α
относительно х).
Пример 3. Найти косинус- и синус- преобразования функции
).0()( ≥=
−
xexf
x
Решение. Имеем
.cos
2
)(
0
zuduezf
u
c
∫
+∞
−
=
π
Так как
,
1
1
cos
2
0
+
=
∫
+∞
−
z
zudue
u
                                                              21

              2 +∞                            2 +∞
     F (λ ) =    ∫f (u ) sin λ udu и f (u ) = π ∫F (λ ) sin λ udλ                                        (3.4)
              π 0                                0
                                                                                              ∧
Замечание. Функцию F (λ ) часто обозначают f (λ ) или                                         f (λ ).


                Примеры задач с решениями
                                    1 +∞
Найти преобразование Фурье F ( x) =     ∫ f (t ) e −i t x dt для функции
                                    2π −∞
f (t ), если:
                               −α x
Пример1. f ( x) =e                          (α >0).

Решение. Подставляя данную функцию в указанную формулу преобразования,
получаем:
                    +∞                                +∞                                +∞
               1         −α t −i t x             1         −α t                   i           −α t
F ( x) =            ∫e                 dt =           ∫e           cos tXdt −           ∫e           sin tXdt =
               2π   −∞                           2π   −∞                          2π    −∞

     2 +∞ −α t            2 α
=       ∫e     cos tXdt =                                     (α >0).
     π 0                  π α 2 +t 2

                                   −α x
Пример 2. f ( x) =xe     (α >0).
Решение. Как и в предыдущем примере, находим:

                    +∞                                +∞                                 +∞
               1            −α t −i t x          1            −α t                 i              −α t
F ( x) =             ∫ te                 dt =         ∫ te          cos tXdt −          ∫ te            sin tXdt =
               2π   −∞                           2π   −∞                           2π    −∞
              +∞
         2                        8      αx
=−i        ∫ te −α t sin tXdt =−i                                         (α >0).
         π 0                      π ( x +α 2 ) 2
                                       2



Заметим, что последний интеграл можно получить дифференцированием
интеграла из предыдущего примера по параметру х (дифференцирование под
знаком интеграла справедливо в силу равномерной сходимости интеграла
+∞
       −α t
 ∫te          sin tXdt относительно х).
 0
Пример3. Найти косинус- и синус- преобразования функции
f ( x) =e −x ( x ≥0).
                                              2 +∞ −u                              +∞
                                                                                         −u                        1
                                fc ( z) =                                                     cos zudu =
                                              π ∫                                   ∫e
Решение. Имеем                                     e cos zudu. Так как                                                    ,
                                                 0                                  0                            z 2 +1

Страницы