ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
∫
+∞
=
0
sin)(
2
)( uduufF λ
π
λ и
∫
+∞
=
0
)4.3(sin)(
2
)( λλλ
π
udFuf
Замечание. Функцию
)
(
λ
F
часто обозначают )( λf или ).( λ
∧
f
Примеры задач с решениями
Найти преобразование Фурье dtetfxF
xti
∫
+∞
∞−
−
= )(
2
1
)(
π
для функции
),
(
t
f
если:
Пример 1. ).0()( >=
−
α
α x
exf
Решение. Подставляя данную функцию в указанную формулу преобразования,
получаем:
).0(
2
cos
2
sin
2
cos
2
1
2
1
)(
22
0
>
+
==
=−==
∫
∫∫∫
∞+
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−−
α
α
α
ππ
πππ
α
ααα
t
tXdte
tXdte
i
tXdtedtexF
t
ttxtit
Пример 2. ).0()( >=
−
α
α x
xexf
Решение. Как и в предыдущем примере, находим:
).0(
)(
8
sin
2
sin
2
cos
2
1
2
1
)(
222
0
>
+
−=−=
=−==
∫
∫∫∫
∞+
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−−
α
α
α
ππ
πππ
α
ααα
x
x
itXdttei
tXdtte
i
tXdttedttexF
t
ttxtit
Заметим, что последний интеграл можно получить дифференцированием
интеграла из предыдущего примера по параметру х (дифференцирование под
знаком интеграла справедливо в силу равномерной сходимости интеграла
tXdtte
t
sin
0
∫
+∞
−α
относительно х).
Пример 3. Найти косинус- и синус- преобразования функции
).0()( ≥=
−
xexf
x
Решение. Имеем
.cos
2
)(
0
zuduezf
u
c
∫
+∞
−
=
π
Так как
,
1
1
cos
2
0
+
=
∫
+∞
−
z
zudue
u
21 2 +∞ 2 +∞ F (λ ) = ∫f (u ) sin λ udu и f (u ) = π ∫F (λ ) sin λ udλ (3.4) π 0 0 ∧ Замечание. Функцию F (λ ) часто обозначают f (λ ) или f (λ ). Примеры задач с решениями 1 +∞ Найти преобразование Фурье F ( x) = ∫ f (t ) e −i t x dt для функции 2π −∞ f (t ), если: −α x Пример1. f ( x) =e (α >0). Решение. Подставляя данную функцию в указанную формулу преобразования, получаем: +∞ +∞ +∞ 1 −α t −i t x 1 −α t i −α t F ( x) = ∫e dt = ∫e cos tXdt − ∫e sin tXdt = 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ 2 +∞ −α t 2 α = ∫e cos tXdt = (α >0). π 0 π α 2 +t 2 −α x Пример 2. f ( x) =xe (α >0). Решение. Как и в предыдущем примере, находим: +∞ +∞ +∞ 1 −α t −i t x 1 −α t i −α t F ( x) = ∫ te dt = ∫ te cos tXdt − ∫ te sin tXdt = 2π −∞ 2π −∞ 2π −∞ +∞ 2 8 αx =−i ∫ te −α t sin tXdt =−i (α >0). π 0 π ( x +α 2 ) 2 2 Заметим, что последний интеграл можно получить дифференцированием интеграла из предыдущего примера по параметру х (дифференцирование под знаком интеграла справедливо в силу равномерной сходимости интеграла +∞ −α t ∫te sin tXdt относительно х). 0 Пример3. Найти косинус- и синус- преобразования функции f ( x) =e −x ( x ≥0). 2 +∞ −u +∞ −u 1 fc ( z) = cos zudu = π ∫ ∫e Решение. Имеем e cos zudu. Так как , 0 0 z 2 +1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »