Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 22 стр.

                                              22

              2 1                                             2 z
  то f c ( z ) =       . Аналогично получаем f s ( z ) =               .
             π z +1 2                                         π z 2 +1
  В свою очередь, применив косинус- и синус- преобразования Фурье к
  функциям f c ( z ) и f s ( z ), получим функцию f (x), т.е.
  2 +∞ cos zX       −x    2 +∞ z sin zX
     ∫        dz =e    ,     ∫          dz =e −x .
  π 0 z +1
         2               π 0 z +1 2

  Отсюда получаем интегралы Лапласа:

  +∞                                +∞
     cos zX     π −x                     z sin zX     π
   ∫ z 2 +1 dz = 2 e ,               ∫      2
                                                  dz = e −x .
   0                                 0     z +1       2

Пример 4. Пусть функция f (x) определена равенствами
                    � 1, если 0 ≤x a.

    Найти ее косинус- и синус- преобразования ( рис. 14).




                       Решение. Находим косинус- преобразование данной функции:

                         2 +∞                   2a             2 +∞
              fc (z) =                        =              +    ∫0 ⋅ cos zudu =
                         π ∫                      ∫
                              f (u ) cos zudu       cos zudu
                            0                   π 0            π  a
                  2a             2 sin az
                   =∫cos zudu =           .
                  π0            π z
  Найдем теперь синус- преобразование:

                         2 +∞                   2a          2∞
              f s ( z) =      f (u ) sin zudu = ∫sin zudu +     0 ⋅ sin zudu =
                         π 0∫                  π0           π a∫
                  2a            2 1 −cos az
               =   ∫ sin zudu =   ⋅         .
                  π0            π     z
  Отсюда получаем