Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
=−+−=
∫
+∞
λλλλλλλ
λπ
dXbaXabxf )sin)cos(coscos)sin((sin
12
)(
0
.
)(sin)(sin2
0
λ
λ
λλ
π
d
aXXb
∫
+∞
−+−
В данном примере функция
)
(
x
f
совпадает с ее интегралом Фурье во всех
точках числовой оси .
Пример 3. .
1
)(
22
X
a
xf
+
=
Решение. Функция
)
(
x
f
при
0
a
дифференцируема и абсолютно интегри -
руема на интервале
).
,
(
+∞
−∞
Следовательно, она представима интегралом
Фурье . Имеем:
0
)
(
=
λ
b
(в силу четности функции
)),
(
x
f
∫∫
∞+∞+
−
≠=
+
==
+
=
00
222
.0,
1
1
)(cos
2
)(
cos2
)( ae
a
t
dtta
a
taX
Xa
Xdx
a
aλ
λ
π
λ
π
λ
Запишем теперь интеграл Фурье данной функции:
).0(,cos
1
)(
0
≠=
∫
+∞
−
aеслиxde
a
xf
a
λλ
λ
Пример 4. ).0()(
22
≠
+
= a
X
a
X
xf
Решение. Функция
)
(
x
f
дифференцируема и не является абсолютно интегри -
руемой на интервале
),
,
(
+∞
−∞
однако она интегрируема на нем в смысле
главного значения Коши. Как показал Коши (см ., например: Фихтенгольц Г . М .
Основы математического анализа . Т.2, М .: Наука, 1968), такая функция тоже
может быть представлена интегралом Фурье .
Легко видеть, что
∫
+∞
+
==
0
22
.
sin2
)(,0)( dx
Xa
XX
b аa
λ
π
λλ
Этот интеграл равномерно сходится по параметру 0
0
>
≥
λ
λ
( здесь
22
X
a
X
+
монотонно стремится к нулю при ).
2
sin,
0
0
λ
λ ≤+∞→
∫
x
ttdaX Следовательно,
его можно рассматривать как производную (с точностью до знака ) от функции
)
(
λ
a
предыдущего примера , т.е. 
                                                18

           2 +∞ 1
   f ( x) = ∫ ((sin λ b −sin λ a ) cos λ X +(cos λ a −cos λ b) sin λ X ) dλ =
           π 0 λ
        2 +∞ sin λ (b −X ) +sin λ ( X −a)
                                          dλ.
        π 0∫               λ

  В данном примере функция f (x) совпадает с ее интегралом Фурье во всех
  точках числовой оси.

                        1
  Пример 3. f ( x) = 2       .
                    a +X 2
  Решение. Функция f (x) при a ≠0 дифференцируема и абсолютно интегри-
  руема на интервале ( −∞,+∞). Следовательно, она представима интегралом
  Фурье. Имеем: b(λ ) =0 (в силу четности функции f (x)),

              2 +∞ cos λXdx               2      +∞ cos (λ a t ) dt
                                                                       1 −λ a
      a (λ ) = ∫ 2          ( X = a t ) =            ∫                = e     , a ≠0.
              π 0 a +X 2                 πa          0   1 +t 2        a

  Запишем теперь интеграл Фурье данной функции:

                +∞
            1        −λ a
   f ( x) =     ∫e          cos λ xdλ,   если ( a ≠0).
            a   0


                                X
Пример 4. f ( x) =             (a ≠0).
                   a +X 2   2

Решение. Функция f (x) дифференцируема и не является абсолютно интегри-
руемой на интервале ( −∞,+∞), однако она интегрируема на нем в смысле
главного значения Коши. Как показал Коши (см., например: Фихтенгольц Г.М.
Основы математического анализа. Т.2, М.: Наука, 1968), такая функция тоже
может быть представлена интегралом Фурье.
                                        2 +∞ X sin λ X
   Легко видеть, что a(λ ) =0, а b(λ ) = ∫ 2           dx.
                                        π 0 a +X 2
                                                                     X
Этот интеграл равномерно сходится по параметру λ ≥λ0 >0 ( здесь 2
                                                                  a +X 2
                                                 x
                                                           2
монотонно стремится к нулю при X → +∞, a ∫sin λ td t ≤ ). Следовательно,
                                                 0         λ0
его можно рассматривать как производную (с точностью до знака ) от функции
a(λ ) предыдущего примера, т.е.

Страницы