ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25
(см . рис.15). Так как для этой функции
∫
∞
∞→
0
,)( dttf то формула (4.1) (она
может быть еще в виде
∫
+∞
∞−
−
= dtetfS
ti ω
ω )()( ) не
может быть применена непосредственно. Чтобы обойти это затруднение,
рассмотрим вместо
)
(
t
f
функцию
t
etf
α
−
)( при
.
0
→
α
Подставляя
t
etf
α
−
)( в формулу (4.1) и замечая, что
1
)
(
=
t
f
при
,
0
0
)
(
0
<
=
≥
t
при
t
f
и
t
получим
===
∫∫
∞
+−
→
−
∞
−
→
dtedteeS
titit
0
)(
0
0
0
limlim)(
ωα
α
ωα
α
ω
=
.
11
lim
)(
lim
2
0
0
)(
0
π
α
ωα
α
ωωωαωα
i
ti
e
i
iii
e
−
→
∞+−
→
−==
+
=
+−
Имеем, следовательно,
,
1
)(
2
π
ω
ω
i
eS
−
= откуда находим модуль и фазу :
.
2
)(;
1
)(
π
ωϕ
ω
ω == S Графики этих функций изображены на рис.16.
Пример 2. Спектр прямоугольного импульса .
Прямоугольный импульс (см . рис. 17) высотой
h
и длительностью
τ
задан
уравнениями:
<<−
><
=
.
22
,
,
22
,0
)(
ππ
ππ
t приh
tиtпри
tf
25
∞
(см. рис.15). Так как для этой функции ∫ f (t ) dt → ∞, то формула (4.1) (она
0
+∞
может быть еще в виде S (ω ) = ∫f (t )e −i ω t dt ) не
−∞
может быть применена непосредственно. Чтобы обойти это затруднение,
рассмотрим вместо f (t ) функцию f (t )e −α t при α → 0.
Подставляя f (t )e −α t в формулу (4.1) и замечая, что f (t ) =1 при
t ≥0 и f (t ) =0 при t <0, получим
∞ ∞
−α t −i ω t
S (ω) = lim ∫e e dt = lim ∫e −(α +iω ) t dt =
α→ 0 α→ 0
0 0
π
e −(α +i ω) t ∞
1 1 i −i
= lim = lim = =− e 2 .
α → 0 −(α +iω ) α → 0 α +i ω i ω ω
0
Имеем, следовательно,
π
1 −i
S (ω ) = e 2 , откуда находим модуль и фазу:
ω
1 π
S (ω ) = ; ϕ (ω ) = . Графики этих функций изображены на рис.16.
ω 2
Пример 2. Спектр прямоугольного импульса.
Прямоугольный импульс (см. рис. 17) высотой h и длительностью τ задан
� π π
�� 0 , при t < 2 и t > 2 ,
уравнениями: f (t ) =�
� h, π π
�� при − 
