Статистические методы и модели. Костин В.Н - 23 стр.

    2 Статистические методы анализа и обработки экспери-
ментальных данных

      2.1 Интервальная оценка параметров

      2.1.1 Приближенные методы построения доверительных интерва-
лов

       В ряде задач требуется не только найти для параметра a подходящее
численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется
знать – к каким ошибкам может привести замена неизвестного параметра a
его точечной оценкой a~ (точечная оценка - оценка, которая определяется од-
ним числом) и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошиб-
ки не выйдут за известные пределы.
       Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюде-
ний, когда точечная оценка a~ в значительной мере случайна и приближенная
замена a на a~ может привести к серьезным ошибкам.
       Чтобы дать представление о точности и надежности оценки a~ , в ма-
тематической статистике пользуются так называемыми доверительными ин-
тервалами и доверительными вероятностями.
       Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами
– концами интервала.
       Все оценки параметров распределения выборки носят случайный ха-
рактер и от параметров генеральной совокупности могут сильно отличаться.
Нас интересует интервал J (a~ − ε , a~ + ε ) , который с заданной надежностью
β накрывал бы неслучайное значение параметра генеральной совокупности
a , такой интервал называется доверительным. Понятия надежность и дове-
рительная вероятность равнозначны. Обычно величину доверительной веро-
ятности принимают в пределах от 0.95 до 0.99.
        Нахождение доверительных интервалов основано на том, что матема-
тическое ожидание, дисперсия и сама оценка распределена по нормальному
закону. Как при заданной надежности β (доверительной вероятности) найти

интервал J (a~ − ε , a~ + ε ) , чтобы этим интервалом накрыть оценку параметра
  a ? В данном случае ε – выступает как мера точности. Приближенный ме-
тод нахождения интервала заключается в том, что в выражении для ε неиз-
вестные параметры заменяют их точечными оценками. При сравнительно
большом числе опытов n (порядка 20-30) этот прием обычно дает удовлетво-
рительные по точности результаты.
        Вероятность того, что оценка не превысит интервал ε – подчиняется
                                             ε      
нормальному закону: Р( а~ − а ≤ ε ) = Ф             =β,
                                            σ ~ ⋅ 2 
                                             а      

                                                                           23