Статистические методы и модели. Костин В.Н - 48 стр.

       Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается
в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенден-
цию возрастать (или убывать) по линейному закону. Если случайные величины
X и Y связаны строгой линейной функциональной зависимостью, например,

                              y=b0+b1x1,

то коэффициент корреляции будет равен r = ±1 ; причем знак соответствует
знаку коэффициента b1 .Если величины X и Y связаны произвольной стохасти-
ческой зависимостью, то коэффициент корреляции будет изменяться в преде-
лах
                              − 1 < r < +1 .
       Следует подчеркнуть, что для независимых случайных величин коэф-
фициент корреляции равен нулю. Однако коэффициент корреляции как пока-
затель зависимости между случайными величинами обладает серьезными не-
достатками. Во-первых, из равенства r = 0 не следует независимость случай-
ных величин X и Y (за исключением случайных величин, подчиненных нор-
мальному закону распределения, для которых r = 0 означает одновременно и
отсутствие всякой зависимости). Во- вторых, крайние значения r = ±1 также не
очень полезны, так как соответствуют не всякой функциональной зависимости,
а только строго линейной.
       Полное описание зависимости Y от X , и притом выраженное в точных
функциональных соотношениях, можно получить, зная условную функцию
распределения F [Y X = x] .
       Следует отметить, что при этом одна из наблюдаемых переменных ве-
личин считается неслучайной. Фиксируя одновременно значения двух случай-
ных величин X и Y, мы при сопоставлении их значений можем отнести все
ошибки лишь к величине Y. Таким образом, ошибка наблюдения ∆y будет
складываться из собственной случайной ошибки величины Y и из ошибки со-
поставления, возникающей из-за того, что с величиной Y сопоставляется не со-
всем то значение X, которое имело место на самом деле.
       Однако отыскание условной функции распределения, как правило, ока-
зывается весьма сложной задачей. Наиболее просто исследовать зависимость
между Х и Y при нормальном распределении Y, так как оно полностью опреде-
ляется математическим ожиданием и дисперсией. В этом случае для описания
зависимости Y от X не нужно строить условную функцию распределения, а
достаточно лишь указать, как при изменении параметра X изменяются матема-
тическое ожидание и дисперсия величины Y.
       Таким образом, мы приходим к необходимости отыскания только двух
функций:
                        M [Y / X = x] = a y / x = ϕ ( x);
                                                                        (3.2)
                        D [Y / X = x] = σ y2 / x = ϕ * ( x).

                                                                          48