Статистические методы и модели. Костин В.Н - 52 стр.

                                  e j = y jэ − y j ,

       где         yjэ –   величина выходного параметра системы, полученная
                              по результатам эксперимента в j-м опыте;
                   yj –    величина выходного параметра системы, рассчитан-
                           ная для j-го опыта по подобранной математической
                           модели (3.6).

      Целесообразно так подобрать математическую модель, чтобы по всем
опытам выполнялось условие
                                       N
                                    ∑
                                    j =1
                                         e j = min .                        (3.8)


      Однако, чтобы избежать выполнения данного условия из-за взаимного
погашения слагаемых с различными знаками, следует взять условие
                                 N
                                 ∑
                                 j =1
                                      (e j ) 2 = min .                      (3.9)


       Таким образом, мы пришли к методу наименьших квадратов:
                                N
                           Φ = ∑ ( y jэ − y j ) 2 = min .                  (3.10)
                                j =1



       Выражение (3.10) минимизирует сумму квадратов остатков или невя-
зок, которые вызываются двумя причинами: отличием оценок bi от истинных
параметров βi и наличием аддитивной помехи ε.
       Если в выражении (3.10) функция Ф есть дифференцируемая функция
по всем своим параметрам bi и требуется так подобрать данные параметры,
чтобы выполнялось условие минимума, то необходимым условием этого будет
являться равенство нулю ее частных производных по всем параметрам bi:

                     ∂Ф                ∂Ф                ∂Ф
                         = 0;              = 0; ...,         = 0.          (3.11)
                     ∂b0               ∂b1               ∂bi

      Эти равенства можно рассматривать как уравнения относительно неиз-
вестных параметров b0, b1, ..., bi, ..., bk, которые в математической статистике
принято называть "системой нормальных уравнений". Так как функция Φ ≥ 0
при любых значениях bi, то у нее обязательно существует хотя бы один мини-
мум. Используя правила дифференцирования, системе уравнений (3.11) обыч-
но придают несколько иной вид:


                                                                              52