Повторные независимые испытания. Кострикина Л.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

13
3. Вероятности P
n
(k) при больших значениях
n. Приближенные формулы Лапласса.
Локальная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность p
наступления события А в каждом испытании постоянна и отлич-
на от 0 и 1, то вероятность P
n
(k) того, что событие А произойдёт k
раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе
n, приближённо равна
()
(
)
npq
x
kPn
ϕ
≈
, (1)
Где
()
2
2
2
1
x
x e
−
=
π
ϕ
- функция Гаусса
npq
npk
x
−
=
(2)
Чем больше n, тем точнее приближённая формула (1). Вы-
числение по этой формуле дает незначительную погрешность при
выполнении условия
20
≥
npq
. Таблица функции
(
)
xϕ для положи-
тельных значений x приведена в приложениях к методическому
пособию, для отрицательных значений x пользуются этой же таб-
лицей, так как функция
(
)
xϕ - чётная и
(
)
x−ϕ =
(
)
xϕ . Также
(
)
xϕ - мо-
нотонно убывает при положительных значениях x, причём при
(
)
0, →∞→ xx ϕ , можно считать, что уже при x>4,
(
)
xϕ
≈
0.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность
p наступления события А в каждом испытании постоянна и от-
лична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления со-
бытия А в n независимых испытаниях заключено в пределах от
1
k
до
2
k
раз приближенно равна определенному интегралу
()
dzeP
z
x
x
kkkn
2
21
2
2
1
−
∫
′′
′
≈≤≤
π
, (3)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    3. Вероятности Pn(k) при больших значениях
                        n. Приближенные формулы Лапласса.

             Локальная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность p
         наступления события А в каждом испытании постоянна и отлич-
         на от 0 и 1, то вероятность Pn(k) того, что событие А произойдёт k
         раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе
         n, приближённо равна
                       ϕ (x )
              Pn(k ) ≈        ,                                        (1)
                        npq
                                       2


              Где     ϕ( ) =
                           x
                                   1 − x2
                                      e - функция Гаусса
                                   2π
                    k − np
               x=                                                                  (2)
                     npq



             Чем больше n, тем точнее приближённая формула (1). Вы-
         числение по этой формуле дает незначительную погрешность при
         выполнении условия npq ≥ 20 . Таблица функции ϕ (x ) для положи-
         тельных значений x приведена в приложениях к методическому
         пособию, для отрицательных значений x пользуются этой же таб-
         лицей, так как функция ϕ (x ) - чётная и ϕ (− x ) = ϕ (x ) . Также ϕ (x ) - мо-
         нотонно убывает при положительных значениях x, причём при
         x → ∞, ϕ ( x ) → 0 , можно считать, что уже при x>4, ϕ (x ) ≈ 0.



              Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность
         p наступления события А в каждом испытании постоянна и от-
         лична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления со-
         бытия А в n независимых испытаниях заключено в пределах от
         k1 до k 2 раз приближенно равна определенному интегралу
                                                      z2
                                            x′′   −


               Pn(k ≤k ≤k ) ≈          1              2
                      1        2
                                       2π   ∫ e dz ,
                                            x′
                                                                                   (3)




                                                                                     13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы