Составители:
Рубрика:
87
ïîâåðõíîñòü ñôåðîé ðàäèóñîì R. Ïëîùàäü ñôåðû 4 π R
2
. Ïîòîê âåê-
òîðà íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç ýòó ñôåðó ÷èñëåííî ðàâåí êîëè÷åñòâó ñè-
ëîâûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íåå. Ñèëîâûå ëèíèè ïåðïåíäèêó-
ëÿðíû ïîâåðõíîñòè ñôåðû, cos(SE) = 1 è, çíà÷èò, èõ ÷èñëî ðàâíî
ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè ñôåðû íà íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íà ïîâåðõíî-
ñòè ñôåðû:
Ô
Å
=(4πR
2
)(1/4πε0)(Q/R
2
) = Q/ε
0
. (15.7)
Åñëè âìåñòî ñôåðè÷åñêîé, ìû âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ çàìêíóòóþ
ïîâåðõíîñòü, ÷åðåç íåå áóäåò ïðîõîäèòü ñòîëüêî æå ñèëîâûõ ëèíèé,
ñêîëüêî è ÷åðåç ñôåðó.  ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè òåîðåìà ïðè-
ìåíèìà è ê ïðîèçâîëüíîìó ÷èñëó çàðÿäîâ âíóòðè ïîâåðõíîñòè. ×òî-
áû íàéòè ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ïðè ïðîèçâîëüíîì ÷èñëå
çàðÿäîâ âíóòðè ïîâåðõíîñòè, íàäî ïðîñóììèðîâàòü çàðÿäû âíóòðè
íåå. Äðóãèìè ñëîâàìè: ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç ïðîèç-
âîëüíóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå çàðÿäîâ âíóòðè
ýòîé ïîâåðõíîñòè, äåëåííîé íà äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü
âàêóóìà.
Òåîðåìà Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà èìååò íàãëÿäíûé ôèçè÷åñêèé
ñìûñë. Îíà óòâåðæäàåò, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ
íà÷èíàþòñÿ è çàêàí÷èâàþòñÿ íà çàðÿäàõ. Åñëè âíóòðè ðàññìàòðèâà-
åìîé ïîâåðõíîñòè çàðÿäîâ íåò, òî ÷èñëî, âõîäÿùèõ â íåå ñèëîâûõ
ëèíèé, ðàâíî ÷èñëó âûõîäÿùèõ è ñóììàðíûé ïîòîê âåêòîðà íàïðÿ-
æåííîñòè ðàâåí íóëþ.
Ýòà òåîðåìà èñïîëüçóåòñÿ â ýëåêòðîñòàòèêå äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãèõ
çàäà÷. Ðàññìîòðèì, êàê ñ åå ïîìîùüþ îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âáëèçè ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ïîâåðõíîñòè.
Ïóñòü ó íàñ åñòü áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ ïëîñ-
êîñòü. Åñëè çàðÿäû ïîëîæèòåëüíû, òî ñèëîâûå ëèíèè âûõîäÿò èç
ïëîñêîñòè è ðàñïîëîæåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî åé (ñì. ðèñ. 15.2).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç σ = q/s ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü çàðÿäà, ò. å.
çàðÿä, ïðèõîäÿùèéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè. Âûäåëèì íà ïëîñêîñòè
îêðóæíîñòü Ds è ïîñòðîèì íà íåé êàê íà îñíîâàíèè äâà öèëèíäðà
ïî îáå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè. Âûñîòà öèëèíäðîâ ðàâíà r. Áîêîâûå
ñòåíêè öèëèíäðîâ ïåðïåíäèêóëÿðíû ïîâåðõíîñòè è ñîâïàäàþò ñ ëè-
íèÿìè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Çíà÷èò, ïîòîê âåêòîðà
íàïðÿæåííîñòè ÷åðåç íèõ ðàâåí íóëþ. Ïðèìåíèì òåïåðü ê öèëèíä-
ðó òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà. Ïîëíûé ïîòîê âåêòîðà íàïðÿ-
æåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâåí Ô
Å
= Q/ε
0
= σD
s
/ε
0
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
