Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

38 Рациональные методы решения задач по матанализу
Ответы к варианту 71
1. а) sin x ln(1 + cos x) + x − sin x + C.
б)
1
6
(1 + x
4
)
3
2
+
1
2
(1 + x
4
)
1
2
+
1
4
ln
√
1 + x
4
− 1
√
1 + x
4
+ 1
+ C.
2.
2
7
; sin(x cos x) = x −
2
3
x
3
+ o(x
4
); ln cos x = −
x
2
2
+ o(x
3
);
числитель: −
x
3
3
+ o(x
3
), знаменатель: −
7
6
x
3
+ o(x
3
).
3. Асимптота y = −2x +
3
4
;
y
0
= −2
x −
3
4
x
1
3
x −
9
8
2
3
, y
00
=
9
16
1
x
4
3
x −
9
8
5
3
;
x
y
0
A
B
y
=
−
2
x
+
3
4
Рис. 13
A
3
4
;
3
2
3
√
2
, x =
3
4
— точка
максимума y,
O(0; 0), x = 0 — точка минимума y,
B
9
8
; 0
, x =
9
8
— точка перегиба
с вертикальной касательной.
4. y = −8 +
n
X
k=1
(−1)
k−1
3
k−1
2
2k−3
C
k−1
1
2
+ 3C
k
1
2
(x + 1)
2k
+ o((x +
+ 1)
2n+1
).
5. K =
1
√
11
(y
0
=
√
2
3
, y
00
= −
11
27
).
6. e
1
3
.
1
sin x
−
1
arcsin x
=
x
3
+ o(x
2
).
7. Асимптоты: y = −
x
4
−
7
4
(t → ±0), y = −x −1 (t → ±∞).
38       Рациональные методы решения задач по матанализу

                           Ответы к варианту 71
1. а) sin x ln(1 + cos x) + x − sin x + C.   √
       1        4 32    1      4 12     1      1 + x4 − 1
   б) (1 + x ) + (1 + x ) + ln √                          + C.
       6                2               4      1 + x4 + 1
     2                           2                            x2
2.     ; sin(x cos x) = x − x3 + o(x4 ); ln cos x = −             + o(x3 );
     7                           3                              2
                     x3                             7
   числитель: − + o(x3 ), знаменатель: − x3 + o(x3 ).
                     3                              6
                               3
3. Асимптота y = −2x + ;
                               4
                              3
                           x− 4                 9      1
            y 0 = −2 1                    00
                                  32 , y = 16 4           5 ;
                               9
                        x3 x −    8               x3 x − 9 3
                                                         8


             y

                                             
                                       3 3           3
                     A            A      ; √    , x = — точка
                                       4 232         4
                                   максимума y,
                            B      O(0;
                                      0), 
                                           x = 0 — точка минимума y,
             0                   x B 9 ; 0 , x = 9 — точка перегиба
                                       8           8
                 y=




                                   с вертикальной касательной.
                   −2
                      x+
                       3
                        4




           Рис. 13
                 n
                 X               3k−1  k−1        
4. y = −8 +            (−1)k−1         C 1  + 3C k
                                                 1   (x + 1)2k + o((x +
                                 22k−3   2       2
                 k=1
  + 1)2n+1 ).
                  √
          1    0    2 00     11
5. K = √ (y =         , y = − ).
           11      3         27
     1     1      1       x
6. e 3 .      −          = + o(x2 ).
         sin x arcsin x   3
                      x 7
7. Асимптоты: y = − − (t → ±0), y = −x − 1 (t → ±∞).
                      4 4

Страницы