Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г. 41
Ответы к варианту 72
1. а)
1
6
(x
6
+ 1) arctg x −
1
30
x
5
+
1
18
x
3
−
1
6
x + C;
б)
1
4
tg
4
x −tg
2
x + 2 ln(tg
2
x + 2) + C.
2. e
−11/6
; e
sin x
= 1 + x +
x
2
2
+ o(x
3
);
arcsin 2x
x −2
= −x −
x
2
2
−
11
12
x
3
+ o(x
3
).
3. Область определения x 6 2.
Асимптота y = −2x при x → −∞.
y
0
=
−
x +
√
4 −x
2
√
4 −x
2
=
2(x
2
− 2)
√
4 −x
2
(
√
4 −x
2
− x)
, |x| < 2,
x −
√
x
2
− 4
√
x
2
− 4
, x < −2;
y
00
=
−
4
(4 −x
2
)
3/2
, |x| < 2,
−
4
(x
2
− 4)
3/2
, x < −2.
x
y
0
A
B
C
y
=
−
2
x
Рис. 15
A(−2; 2),
x = −2 — точка минимума y(x),
B(−
√
2; 2
√
2),
x = −
√
2 — точка максимума y(x),
C(2; −2),
x = 2 — точка краевого
минимума y(x),
касательные в точках A и C
вертикальные.
4. y = −4 +
n
X
k=1
(−1)
k−1
2
2k
1
12(2k − 2)!
+
4
(2k)!
(x + 3)
2k
+
+ o((x + 3)
2n+1
).
5. K =
3
13
√
13
(y
0
=
3
2
, y
00
= −
3
8
).
               § 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г.                41

                       Ответы к варианту 72
       1                       1         1      1
1. а) (x6 + 1) arctg x − x5 + x3 − x + C;
       6                       30       18      6
      1 4         2               2
  б)    tg x − tg x + 2 ln(tg x + 2) + C.
      4
                                 x2
2. e−11/6 ; esin x = 1 + x +         + o(x3 );
                                  2
  arcsin 2x            x2     11
            = −x −          − x3 + o(x3 ).
    x−2                 2     12
3. Область определения x 6 2.
      Асимптота y = −2x при x → −∞.
                  √
             x + 4 − x2                  2(x2 − 2)
         
         − √                 =√            √            , |x| < 2,
         
         
                          2         4 − x2 ( 4 − x2 − x)
    y0 =        √4 − x
         x−
                 x2 − 4
            √              ,                              x < −2;
                x2 − 4
                                    4
                           −
                                            , |x| < 2,
                    00          (4 − x2 )3/2
                   y =               4
                           −
                                            , x < −2.
                                (x2 − 4)3/2

                y
                                   A(−2; 2),
           B
                                   x = −2 — точка минимума y(x),
                                       √ √
       A                           B(− 2; 2 2),
                                         √
                                   x = − 2 — точка максимума y(x),
                0                x C(2; −2),
                             C     x = 2 — точка краевого
                    y=




                                   минимума y(x),
                      −2




                                   касательные в точках A и C
                         x




               Рис. 15             вертикальные.


                 n                                        
                 X                            1        4
4. y = −4 +            (−1)k−1 22k                  +        (x + 3)2k +
                                         12(2k − 2)! (2k)!
                 k=1
  + o((x + 3)2n+1 ).
           3         3    3
5. K = √ (y 0 = , y 00 = − ).
        13 13        2    8

Страницы