Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г. 43
x(t) : (−∞; +∞), y(t) : (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
2) Исследование на асимптоты.
x → +∞ при t → ±∞; y → ±∞ при t → ±∞, t → 1 ± 0;
x =
3
2
— вертикальная асимптота при t → 1; невертикальных
асимптот нет, так как
lim
t→∞
y
x
= lim
t→∞
2(t
2
+ 3)
t(t + 2)(t − 1)
= 0, lim
t→∞
(y −0x) = lim
t→∞
y = ∞.
3) Вычисление x
0
(t). x
0
(t) = t + 1.
Указываем интервалы E
k
изменения t, на которых сохра-
няется знак x
0
(t), а y(t) непрерывна:
E
1
= (−∞; −1), E
2
= (−1; 1), E
3
= (1; +∞).
Вычисление y
0
(t), Y
0
(x), Y
00
(x).
y = t + 1 +
4
t − 1
, y
0
(t) = 1 −
4
(t − 1)
2
=
(t + 1)(t − 3)
(t − 1)
2
,
Y
0
(x) =
t − 3
(t − 1)
2
,
Y
00
(x) =
t − 3
(t − 1)
2
0
1
t + 1
=
1
t − 1
−
2
(t − 1)
2
0
1
t + 1
=
= −
t − 5
(t + 1)(t − 1)
3
.
4) Заполнение таблицы.
E
1
E
2
E
3
t −∞ −1 −1 1 − 0 1 + 0 3 5 +∞
x(t) +∞&−
1
2
−
1
2
%
3
2
− 0
3
2
+ 0 %
15
2
%
35
2
%+∞
x
0
(t) − 0 0 + + + + + +
y(t) −∞ % −2 −2 & −∞ +∞ & 6 % 7 %+∞
y
0
(t) + 0 0 − − 0 + + +
Y
0
(x) − −1 −1 − − 0 +
1
8
+
Y
00
(x) +
/
∃
/
∃ − + + + 0 −
             § 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г.              43

             x(t) : (−∞; +∞),         y(t) : (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
     2) Исследование на асимптоты.
  x → +∞ при t → ±∞; y → ±∞ при t → ±∞, t → 1 ± 0;
      3
  x = — вертикальная асимптота при t → 1; невертикальных
      2
  асимптот нет, так как
      y          2(t2 + 3)
  lim   = lim                 = 0,             lim (y − 0x) = lim y = ∞.
  t→∞ x   t→∞ t(t + 2)(t − 1)                  t→∞            t→∞
                               0      0
     3) Вычисление x (t). x (t) = t + 1.
     Указываем интервалы Ek изменения t, на которых сохра-
  няется знак x0 (t), а y(t) непрерывна:
            E1 = (−∞; −1),         E2 = (−1; 1),     E3 = (1; +∞).
                       0       0          00
  Вычисление y (t), Y (x), Y (x).
                       4                   4       (t + 1)(t − 3)
     y =t+1+              ,    y 0 (t) = 1 −     =                ,
                      t−1              (t − 1)2       (t − 1)2
                                      t−3
                          Y 0 (x) =          ,
                                    (t − 1)2
                    0                           0
               t−3      1           1          2        1
Y 00 (x) =                    =         −                   =
             (t − 1)2 t + 1       t − 1 (t − 1)2 t + 1
                                                             t−5
                                                   =−                   .
                                                        (t + 1)(t − 1)3
        4) Заполнение таблицы.
                     E1            E2               E3
             t     −∞ −1       −1   1−0 1+0       3    5        +∞
         x(t)      +∞ & − 12     1   3    3       15
                               −2 % 2 − 0 2 + 0 % 2 % 235
                                                              % +∞
         x0 (t)       − 0       0 +             + + + +       +
         y(t)      −∞ % −2     −2 & −∞ +∞ & 6 % 7             % +∞
         y 0 (t)      + 0       0 −             − 0 + +       +
        Y 0 (x)       − −1     −1 −             − 0 + 18      +
        Y 00 (x)      + ∃/     ∃/ −             + + + 0       −

Страницы