Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44 Рациональные методы решения задач по матанализу
5) Построение кривой.
См. рис. 16 на с. 42.
8. Доказать, что последовательность {x
n
} имеет предел, и найти
его, если
x
1
= 0, x
n+1
=
1 + x
n
2 + x
n
. (1)
Р е ш е н и е. Имеем x
1
= 0, x
2
=
1
2
> 0. Пусть x
n
> 0.
Тогда x
n+1
=
1 + x
n
2 + x
n
> 0. По индукции доказано, что x
n
> 0,
n = 2, 3, . . .
Докажем монотонность последовательности {x
n
}. Имеем
x
2
− x
1
=
1
2
> 0. Пусть x
n
− x
n−1
> 0. Тогда
x
n+1
− x
n
=
x
n
− x
n−1
(2 + x
n
)(2 + x
n−1
)
> 0.
По индукции доказано, что последовательность {x
n
} строго
возрастающая.
Из формулы (1) следует, что x
n
< 1, n = 1, 2, . . .
Следовательно, существует конечный
lim
n→∞
x
n
= C.
Переходя к пределу в формуле (1), получаем
C =
1 + C
2 + C
,
откуда заключаем, что C =
1
2
(
√
5 − 1), а не −
1
2
(
√
5 + 1), так
как lim
n→∞
x
n
не может быть отрицательным.
Ответ:
1
2
(
√
5 − 1).
44        Рациональные методы решения задач по матанализу

     5) Построение кривой.
     См. рис. 16 на с. 42.
8. Доказать, что последовательность {xn } имеет предел, и найти
  его, если
                                         1 + xn
                       x1 = 0, xn+1 =           .                (1)
                                         2 + xn
                                              1
     Р е ш е н и е. Имеем x1 = 0, x2 =            > 0. Пусть xn > 0.
                                              2
                    1 + xn
  Тогда xn+1 =             > 0. По индукции доказано, что xn > 0,
                    2 + xn
  n = 2, 3, . . .
     Докажем монотонность последовательности {xn }. Имеем
              1
  x2 − x1 = > 0. Пусть xn − xn−1 > 0. Тогда
              2
                                  xn − xn−1
                  xn+1 − xn =                      > 0.
                              (2 + xn )(2 + xn−1 )
     По индукции доказано, что последовательность {xn } строго
     возрастающая.
        Из формулы (1) следует, что xn < 1, n = 1, 2, . . .
        Следовательно, существует конечный
                            lim xn = C.
                           n→∞
     Переходя к пределу в формуле (1), получаем
                                1+C
                            C=         ,
                                2+C
                                1 √             1 √
     откуда заключаем, что C = ( 5 − 1), а не − ( 5 + 1), так
                                2               2
     как lim xn не может быть отрицательным.
         n→∞
                1 √
        Ответ: ( 5 − 1).
                2

Страницы