Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46 Рациональные методы решения задач по матанализу
Ответы к варианту 73
1. а) −cos x ln(1 + sin x) + x + cos x + C. б)
4
5
(
4
√
x
3
− 1)
5/3
+
+ 4(
4
√
x
3
− 1)
2/3
+
4
(1 −
4
√
x
3
)
1/3
+ C.
2. −
2
5
;
√
1 + sin 2x = 1 + x −
x
2
2
−
x
3
6
+ o(x
3
); e
x
1−x
= 1 + x +
+
3
2
x
2
+
13
6
x
3
+ o(x
3
); числитель: −
x
3
3
+ o(x
3
), знаменатель:
5
6
x
3
+ o(x
3
).
3. Асимптота: y = x − 2.
y
0
=
x − 4
x
1/3
(x − 6)
2/3
, y
00
= −
8
x
4/3
(x − 6)
5/3
.
x
y
A
B0
y
=x
−2
O(0; 0), x = 0 — точка максимума y(x);
A(4; −2
3
√
4), x = 4 — точка минимума y(x);
B(6; 0), x = 6 — точка перегиба с вертикальной касательной.
Рис. 17
4. y = 3e
2
+
n
X
k=1
(−1)
k
e
2
2
k
(k − 1)!
3
k
−
1
2
(x − 2)
2k
+ o((x − 2)
2n+1
).
5. K =
√
2
3
(y
0
(1) = 1, y
00
(1) = −
4
3
).
6. e
1
2
;
sh x
arctg x
= 1 +
x
2
2
+ o(x
3
).
46       Рациональные методы решения задач по матанализу

                     Ответы к варианту 73
                                                    4 √ 4
1. а) − cos x ln(1 + sin x) + x + cos x + C. б)       ( x3 − 1)5/3 +
       √                                            5
        4                   4
  + 4( x3 − 1)2/3 +        √
                           4
                                    + C.
                     (1 − x3 )1/3
       2 √                       x2     x3               x
2. − ; 1 + sin 2x = 1 + x −           −    + o(x3 ); e 1−x = 1 + x +
       5                          2     6
     3     13 3                           x3
  + x2 +      x + o(x3 ); числитель: −       + o(x3 ), знаменатель:
     2      6                              3
  5 3
    x + o(x3 ).
  6
3. Асимптота: y = x − 2.
                    x−4                         8
          y 0 = 1/3            , y 00 = − 4/3              .
                x (x − 6)2/3              x (x − 6)5/3


                        y
                                           2
                                         x−
                                       y=




                         0                     B
                                                   x



                                   A
 O(0; 0), x = 0 — точка максимума y(x);
         √3
 A(4; −2 4), x = 4 — точка минимума y(x);
 B(6; 0), x = 6 — точка перегиба с вертикальной касательной.
                            Рис. 17

               n
                  (−1)k e2
                                 
               X              3 1
4. y = 3e2 +                   −    (x − 2)2k + o((x − 2)2n+1 ).
                 2k (k − 1)! k 2
               k=1
         √
           2 0                         4
5. K =       (y (1) = 1, y 00 (1) = − ).
          3                            3
     1     sh x         x2
6. e 2 ;         =1+          + o(x3 ).
         arctg x         2

Страницы