Интерполяция многочленами. Ковтанюк А.Е. - 1 стр.

                        ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ
                                                                      Введение

      Весьма часто ученым и инженерам приходиться сталкиваться с таблично заданными
функциями. Такого типа функции возникают при работе с экспериментальными, статистическими
данными. Однако нередко работа с табличными данными является слишком трудоемким занятием,
особенно при больших объемах информации. Поэтому весьма полезным в таких случаях является
приближение табличной функции аналитической. Это является полезным для компактного
хранения информации, а также для дальнейшей практической и теоретической работы с
полученной информацией.
      Довольно часто табличные функции приближаются с помощью многочленов. Одной из
разновидностей приближения табличной функции является задача интерполяции. Сформулируем
одну из самых распространенных задач интерполяции функции одной переменной: Пусть дано n
точек на координатной плоскости (x,y). Требуется построить многочлен степени не
превосходящей n-1, проходящий через указанные точки. Нередко возникают задачи интерполяции,
когда помимо значения функции в узловых точках задается еще значение первой производной
(наклон функции). Существуют и другие формулировки задачи интерполяции. Мы, в основном,
ограничимся указанными двумя задачами.

                        § 1. Решение задачи интерполяции через решение СЛАУ

      Многочлен степени n
                                                                                                  n
                              y( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n =                   ∑ ak x k                (1)
                                                                                                k =0
      Имеет n+1 коэффициент. Естественно полагать, что n+1 условие, наложенное на
многочлен в общем виде, позволит однозначно определить коэффициенты. В частности, можно
потребовать, чтобы многочлен проходил через п+1 точку (xi , yi) , i = 1, 2,..., n+1 с xi ≠ xj. To, что
многочлен проходит через точки (xi , yi) означает выполнение условий
                                                  n
                                       yi =      ∑ a k xik , i = 1, 2, …, n+1.                                             (2)
                                                 k =0
Таким образом, мы получили систему n+1 линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для
нахождения неизвестных коэффициентов a0 , a1, …, an . Определитель этой системы
относительно неизвестных ak -есть определитель Вандермонда

                                           1            x1      x12          ...x1n
                                           1            x2      x22          ...x2n
                                W =                                                     = f ( x1 , x2 ,...., xn + 1 ),
                                           ...          ...     ...          ........
                                           1          xn + 1   xn2+ 1 ...xnn+ 1

который не равен нулю, если xi ≠ xj для i ≠ j . Действительно, определитель есть функция от x1,
x2, …, xn+1. Если считать его сначала функцией от xn+1, то он есть многочлен степени п и
обращается в нуль всякий раз, когда xn+1 = xj (для j = 1, 2, … n). Таким образом, f (x1, x2, ..., xn+1)
содержит множители
                                n
                               ∏ ( xn +1 − xi ) = ( xn +1 − x1 )( xn +1 − x2 )...( xn +1 − xn ).
                               i =1
Далее, рассматривая определитель как функцию от xn, мы видим точно так же, что существуют
множители
                                    n −1
                                 ∏ ( x n − x i ) = ( x n − x 1 )( x n − x 2 )...( x n − x n −1 )
                                    i =1
Проведя аналогичные рассуждения для оставшихся узлов xn-1, xn-2, …, x1 , нетрудно заметить, что
в нашем определителе встречаются вообще все множители
                                                                      n +1
                                                                      ∏ ( x j − xi )
                                                                  j > i =1

Произведение всех этих множителей есть многочлен степени