ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Нетрудно видеть, что построенный многочлен h
j
(х) обладает требуемыми свойствами.
Построение многочлена H
i
(x) почти такое же. Искомый многочлен должен содержать
множители
(
x - x
i
)
2
(для i ≠ j),
но в то же время требуется, чтобы
H
j
(x
j
)=1, H
j
’(x
j
)=0.
Будем искать H
j
(x) в виде
.
)xx...()xx()xx....()xx()xx(
)xx...()xx)(bax()xx....()xx()xx(
)x(H
2
1nj
2
1jj
2
1jj
2
2j
2
1j
2
1n
2
1j
2
1j
2
2
2
1
j
++−
++−
−−−−−
−−+−−−
=
Условие
H
j
(x
j
)=1 требует, чтобы
ax
j
+ b =1.
Взяв производную от
H
j
и положив в ней x = x
j
получим
.0
2
...
22
...
22
)('
11121
=
−
++
−
++
−
++
−
+
−
=
++− njjjjjjj
jj
xxxx
a
xxxxxx
xH
Таким образом,
j
1n
1i
ij
'
ax1b,
xx
1
2a −=
−
−=
∑
+
=
и требуемая формула построена.
Упражнения
1. Указать способ получения интерполяционной формулы, которая имеет значения
y
i
, y
i
’
и y
i
” в каждой точке х
i
.
2. С помощью интерполяционной формулы Лагранжа построить многочлен 2-й степени,
проходящий через узловые точки:
а) (0,1), (1,3), (2,2); б) (0,-1), (1,2), (2,1); в) (0,1), (1,-1), (2,3).
3. С помощью интерполяционной формулы Лагранжа построить многочлен 3-й степени
проходящий через узловые точки:
а) (0,2), (1,3), (2,4), (3,1); б) (0,-1), (1,2), (2,1) (3,4); в) (0,2), (1,-1), (2,3), (3,5).
4. С помощью интерполяционной формулы Эрмита построить многочлен 3-й степени для
следующей табличной функции:
а)
x 1 2 б) x 1 2
y 0 2 y 1 0
y’ -1 0 y’ 1 2
в)
x 1 2 г) x 1 2
y 0 1 y 1 2
y’ 1 0 y’ 0 1
Нетрудно видеть, что построенный многочлен hj(х) обладает требуемыми свойствами.
Построение многочлена Hi(x) почти такое же. Искомый многочлен должен содержать
множители
(x - xi)2 (для i ≠ j),
но в то же время требуется, чтобы
Hj(xj)=1, Hj’(xj)=0.
Будем искать Hj(x) в виде
( x − x1 )2 ( x − x2 )2 ....( x − x j −1 )2 ( ax + b )( x − x j + 1 )2 ...( x − xn + 1 )2
H j( x ) = .
( x j − x1 )2 ( x j − x2 )2 ....( x j − x j −1 )2 ( x j − x j + 1 )2 ...( x j − xn + 1 )2
Условие Hj(xj)=1 требует, чтобы
axj + b =1.
Взяв производную от Hj и положив в ней x = xj получим
2 2 2 2 2
H j '(x j ) = + + ... + +a+ + ... + = 0.
x j − x1 x j − x 2 x j − x j −1 x j − x j +1 x j − x n +1
Таким образом,
n +1 ' 1
a = −2 ∑ , b = 1 − ax j
i =1 x j − xi
и требуемая формула построена.
Упражнения
1. Указать способ получения интерполяционной формулы, которая имеет значения yi, yi’
и yi” в каждой точке хi.
2. С помощью интерполяционной формулы Лагранжа построить многочлен 2-й степени,
проходящий через узловые точки:
а) (0,1), (1,3), (2,2); б) (0,-1), (1,2), (2,1); в) (0,1), (1,-1), (2,3).
3. С помощью интерполяционной формулы Лагранжа построить многочлен 3-й степени
проходящий через узловые точки:
а) (0,2), (1,3), (2,4), (3,1); б) (0,-1), (1,2), (2,1) (3,4); в) (0,2), (1,-1), (2,3), (3,5).
4. С помощью интерполяционной формулы Эрмита построить многочлен 3-й степени для
следующей табличной функции:
а) x 1 2 б) x 1 2
y 0 2 y 1 0
y’ -1 0 y’ 1 2
в) x 1 2 г) x 1 2
y 0 1 y 1 2
y’ 1 0 y’ 0 1
