Интерполяция многочленами. Ковтанюк А.Е. - 6 стр.

                                    § 3. Интерполяционная формула Ньютона
        Рассмотренные методы нахождения интерполяционного многочлена по n+1 точке
подразумевали, что множество используемых узлов известно. Часто известным является лишь
требуемая точность, а множество узлов, которые следует использовать, определяется информа-
цией о том, как вычисляется функция. Интерполяционная формула Ньютона, которая будет
изложена, представляет собой просто другой способ написания интерполяционного многочлена.
Она полезна, потому что число используемых узлов может быть легко увеличено или
уменьшено без повторения всего вычисления.
        Обозначим многочлен, проходящий через n+1 точку (хi, yi), i=1, 2, ..., n+1, через Pn =
Рn (x). Можно написать
                                      Pn ( x ) = y1 + ( x − x1 )Pn −1( x ),
где Pn-1(x) – некоторый многочлен степени n-1. Ясно, что Pn(x1)=y1 и следует заботиться лишь
об n точках (i=2, 3, …, n+1). Предыдущее уравнение может быть записано в виде

                                                                     Pn ( x ) − y 1
                                                     Pn −1 ( x ) =                  ,
                                                                        x − x1
и следовательно, требуется, чтобы

                               Pn ( xi ) − Pn ( x1 ) yi − y1
                             Pn −1( xi ) =            =                   ( i = 2 , 3, ..., n + 1 ).
                                      xi − x1             xi − x1
Тем самым нужно, чтобы многочлен Pn-1(x) проходил через точки
                                ⎛       y − y1 ⎞
                                ⎜ xi , i         ⎟      ( i = 2 , 3 , ..., n + 1 ).
                                ⎜       xi − x1 ⎟⎠
                                ⎝
Величины
                                        yi − y1
                                                   = [x i , x 1 ] = [x 1 , x i ]
                                        xi − x1
называются разделенными разностями и обычно записываются в квадратных скобках.
      На следующем шаге запишем

                                             Pn −1( x ) = [x1 , x2 ] + ( x − x2 )Pn − 2 ( x )

и потребуем, чтобы многочлен Pn-2(x) принимал значения разделенных разностей от разделенных
разностей
                          [[xi , x1 ], [x 2 , x1 ]] = [xi , x1 ] − [x 2 , x1 ] = [xi , x 2 , x1 ].
                                                             xi − x 2
Нетрудно видеть, что разделенные разности первого порядка не зависят от порядка аргументов в
квадратных скобках. Покажем теперь, что это верно и для разделенных разностей второго порядка.
Если начать с трех точек
                                               (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),

то получим единственный многочлен второй степени, проходящий через три точки. Его можно
записать так:

                                     y = y1 + ( x − x1 ){[x2 , x1 ] + ( x − x2 )[x3 , x2 , x1 ]}.


Если теперь взять точки в таком порядке: (xa, ya), (xb, yb), (xc, yc), то получим

                             y = y a + ( x − x a ){[xb , x a ] + ( x − xb )[xc , xb , x a ]} .
Так как оба этих уравнения определяют один и тот же квадратный трехчлен, то коэффициенты при
x2 должны быть одинаковы, так что два символа